Michel Chasles est un mathématicien français du 19ème siècle. Il n’a pas découvert la relation qui porte son nom et qui était déjà connue depuis plusieurs années mais il a contribué, par ses travaux, à populariser cette relation dans les pays francophones.
Différentes méthodes peuvent être utilisées pour simplifier des expressions vectorielles. La plupart d’entre elles sont basées sur la relation de Chasles.
Dans toute la suite, les lettres A, B, C, etc. désignent des points du plan.
1. Utilisation de la relation de Chasles
La relation de Chasles indique que pour trois points A, B, C quelconques du plan :
Il faut remarquer que l’extrémité du premier vecteur est identique à l’origine du second ; ce point situé « à l’intérieur » (ici B) disparaît dans le résultat (ici \overrightarrow{AC}) tandis que restent les extrémités (ici A et C) dans le même ordre : \overrightarrow{{\color{blue} A}{\color{red} B}}+\overrightarrow{{\color{red} B} {\color{blue}C}}=\overrightarrow{{\color{blue} AC}}
Dans un vecteur, l’ordre des points a de l’importance ! Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BA} ne sont pas égaux mais ils sont opposés (voir 2.).
Par contre, dans une somme, l’ordre des vecteurs n’a pas d’importance : \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} est égal à \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.
Exemple 1
Simplifier \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}.
Solution :
On utilise deux fois la relation de Chasles :
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA} (car \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC})
\phantom{{AB}+{BC}+{CA} }= \overrightarrow{AA} .
Le vecteur \overrightarrow{AA} a son origine égale à son extrémité : c’est le vecteur nul \overrightarrow{0}.
Finalement :
Exemple 2
Simplifier \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}.
Solution :
Il suffit de modifier l’ordre des deux premiers termes pour pouvoir appliquer la relation de Chasles :
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}
\phantom{{AB}+{CA}+{CB}}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CB} (car \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB})
\phantom{{AB}+{CA}+{CB}}=2\overrightarrow{CB}.
2. Utiliser les règles de calcul sur les vecteurs
Les règles suivantes, en particulier, sont fréquemment utilisées :
Règles de calcul
Opposés : \overrightarrow{BA}= -\overrightarrow{AB}
Distributivité : k \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right)=k \overrightarrow{AB}+k \overrightarrow{AC}
Milieu : Si M est le milieu de[AB] :
\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}
\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}
\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.
Remarque : La distributivité peut être aussi bien utilisée pour développer que pour « factoriser » une expression.
Exemple 1
Simplifier 2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}.
Solution :
2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA} (distributivité)
\phantom{2({AB}+{AC})-{BA}+{CA}}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} (opposés)
\phantom{2({AB}+{AC})-{BA}+{CA}}=3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.
Exemple 2
ABCD est un parallélogramme de centre O.
Calculer \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}.
Solution :
On regroupe les termes de la façon suivante :
\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)+\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\right).
Dans un parallélogramme les diagonales se coupent en leur milieu.
Par conséquent, O est le milieu de [AC] et de [BD].
Donc \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0} et \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0} (propriété du milieu).
On en déduit que :
3. Utiliser la relation de Chasles « en sens inverse »
La relation de Chasles \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}, pour tous points A, B, C, peut également s’écrire dans l’autre sens :
Cela revient à « insérer » un point B quelconque entre A et C:
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}
\phantom{A}\red \uparrow\phantom{C={AB}+{BC}} \phantom{A}\red B\phantom{C={AB}+{BC}}B peut être n’importe quel point du plan. Cette méthode est particulièrement puissante mais la difficulté consiste parfois à trouver le point qu’il sera intéressant d’introduire.
Exemple 1
Soit ABC un triangle quelconque et I le milieu de [BC].
Montrer que \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}.
Solution :
On introduit le point I dans \overrightarrow{AB} (\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}) et dans \overrightarrow{AC} (\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}) :
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}
\phantom{{AB}+{AC}}=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}
Or I étant le milieu de [BC] : \overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}. (voir 2.).
Finalement on obtient bien :
Exemple 2
Soient trois points quelconques A, B, C et le point P tel que \overrightarrow{BP}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}.
Montrer que \overrightarrow{PC}=2 \overrightarrow{BP}.
Montrer que 2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3 \overrightarrow{AP}.
Solution :
On introduit le point B dans le vecteur \overrightarrow{PC} :
\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BC}.
D’après l’énoncé \overrightarrow{BP}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}, donc (en multipliant chaque membre par 3) \overrightarrow{BC}=3 \overrightarrow{BP} ; et, en remplaçant \overrightarrow{BC} par 3 \overrightarrow{BP}, on obtient :
\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PB}+3 \overrightarrow{BP}
\phantom{{PC}}=-\overrightarrow{BP}+3 \overrightarrow{BP}
\phantom{{PC}}=2 \overrightarrow{BP}.On introduit le point P dans \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} :
2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2 \left(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PB} \right)+\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PC} (Bien penser aux parenthèses !)
\phantom{2{AB}+{AC}}=2 \overrightarrow{AP}+2\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PC} (Distributivité)
\phantom{2{AB}+{AC}}=3 \overrightarrow{AP}+2\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}Or, d’après la question a. \overrightarrow{PC}=2 \overrightarrow{BP}, donc :
2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3 \overrightarrow{AP}+2\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{BP}
\phantom{2{AB}+{AC}}=3 \overrightarrow{AP}car les vecteurs 2\overrightarrow{PB} et 2\overrightarrow{BP} sont opposés.
Exemple 3
Soit ABCD un quadrilatère quelconque et I, J, K, L les milieux de [AB], [BC], [CD], [DA].
Montrer que \overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{LK}.
Solution :
Voici une solution (parmi d’autres…) :
\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BJ} (introduction du point B)
\phantom{{IJ}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} (propriété des milieux)
\phantom{{IJ}}=\dfrac{1}{2} \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right) (« factorisation » )
\phantom{{IJ}}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AC} (relation de Chasles).
On procède ensuite de façon analogue pour \overrightarrow{LK} :
\overrightarrow{LK}=\overrightarrow{LD}+\overrightarrow{DK} (introduction du point D)
\phantom{LK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC} (propriété des milieux)
\phantom{{LK}}=\dfrac{1}{2} \left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC} \right) (« factorisation » )
\phantom{{LK}}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AC} (relation de Chasles).
Par conséquent : \overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{LK}.
