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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Relation de Chasles et Calculs vectoriels

À propos de Chasles

Michel Chasles est un mathématicien français du 19ème siècle. Il n'a pas découvert la relation qui porte son nom et qui était déjà connue depuis plusieurs années mais il a contribué, par ses travaux, à populariser cette relation dans les pays francophones.

Différentes méthodes peuvent être utilisées pour simplifier des expressions vectorielles. La plupart d'entre elles sont basées sur la relation de Chasles.

Dans toute la suite, les lettres A, B, C, etc. désignent des points du plan.

1. Utilisation de la relation de Chasles

La relation de Chasles indique que pour trois points A,B,CA, B, C quelconques du plan :

AB+BC=AC\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}

relation de Chasles

Exemple 1

Simplifier AB+BC+CA.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}.

Solution :

On utilise deux fois la relation de Chasles :

AB+BC+CA=AC+CA\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}    (car AB+BC=AC\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC})

AB+BC+CA=AA.\phantom{{AB}+{BC}+{CA} }= \overrightarrow{AA} .

Le vecteur AA\overrightarrow{AA} a son origine égale à son extrémité : c'est le vecteur nul 0.\overrightarrow{0}.

Finalement :

AB+BC+CA=0\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA} =\overrightarrow{0}

Exemple 2

Simplifier AB+CA+CB.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}.

Solution :

Il suffit de modifier l'ordre des deux premiers termes pour pouvoir appliquer la relation de Chasles :

AB+CA+CB=CA+AB+CB\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}

AB+CA+CB=CB+CB\phantom{{AB}+{CA}+{CB}}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CB}   (car CA+AB=CB\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB})

AB+CA+CB=2CB.\phantom{{AB}+{CA}+{CB}}=2\overrightarrow{CB}.

2. Utiliser les règles de calcul sur les vecteurs

Les règles suivantes, en particulier, sont fréquemment utilisées :

Règles de calcul

Opposés : BA=AB\overrightarrow{BA}= - \overrightarrow{AB}

Distributivité : k(AB+AC)=kAB+kACk \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right)=k \overrightarrow{AB}+k \overrightarrow{AC}

Milieu : Si MM est le milieu de[AB][AB] :

vecteurs et milieu

  • AM=MB\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}

  • MA+MB=0\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}

  • AM=12AB.\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.

Remarque : La distributivité peut être aussi bien utilisée pour développer que pour « factoriser » une expression.

Exemple 1

Simplifier 2(AB+AC)BA+CA.2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}) - \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}.

Solution :

2(AB+AC)BA+CA=2AB+2ACBA+CA2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}) - \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA} (distributivité)

2(AB+AC)BA+CA=2AB+2AC+ABAC\phantom{2({AB}+{AC}) - {BA}+{CA}}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} (opposés)

2(AB+AC)BA+CA=3AB+AC.\phantom{2({AB}+{AC}) - {BA}+{CA}}=3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.

Exemple 2

ABCDABCD est un parallélogramme de centre OO.

Calculer OA+OB+OC+OD.\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}.

Solution :

On regroupe les termes de la façon suivante :

OA+OB+OC+OD=(OA+OC)+(OB+OD).\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)+\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\right).

Dans un parallélogramme les diagonales se coupent en leur milieu.

Par conséquent, OO est le milieu de [AC][AC] et de [BD][BD].

Donc OA+OC=0\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0} et OB+OD=0\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0} (propriété du milieu).

On en déduit que :

OA+OB+OC+OD=0+0=0.\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.

3. Utiliser la relation de Chasles « en sens inverse »

La relation de Chasles AB+BC=AC\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}, pour tous points A,B,CA, B, C, peut également s'écrire dans l'autre sens :

AC=AB+BC.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.

Cela revient à « insérer » un point BB quelconque entre AA et CC:

AC=AB+BC\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A\red B}+\overrightarrow{\red BC}

BB peut être n'importe quel point du plan. Cette méthode est particulièrement puissante mais la difficulté consiste parfois à trouver le point qu'il sera intéressant d'introduire.

Exemple 1

Soit ABCABC un triangle quelconque et II le milieu de [BC].[BC].

Montrer que AB+AC=2AI.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}.

Solution :

On introduit le point II dans AB\overrightarrow{AB} (AB=AI+IB\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}) et dans AC\overrightarrow{AC} (AC=AI+IC\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}) :

AB+AC=AI+IB+AI+IC\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}

AB+AC=2AI+IB+IC\phantom{{AB}+{AC}}=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}

Or II étant le milieu de [BC][BC] : IB+IC=0.\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}. (voir 2.).

Finalement on obtient bien :

AB+AC=2AI.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}.

Exemple 2

Soient trois points quelconques A,B,CA, B, C et le point PP tel que BP=13BC.\overrightarrow{BP}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}.

  1. Montrer que PC=2BP.\overrightarrow{PC}=2 \overrightarrow{BP}.

  2. Montrer que 2AB+AC=3AP.2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3 \overrightarrow{AP}.

Solution :

  1. On introduit le point BB dans le vecteur PC\overrightarrow{PC} :

    PC=PB+BC.\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BC}.

    D'après l'énoncé BP=13BC\overrightarrow{BP}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}, donc (en multipliant chaque membre par 3) BC=3BP\overrightarrow{BC}=3 \overrightarrow{BP} ; et, en remplaçant BC\overrightarrow{BC} par 3BP3 \overrightarrow{BP}, on obtient :

    PC=PB+3BP\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PB}+3 \overrightarrow{BP}

    PC=BP+3BP\phantom{{PC}}= - \overrightarrow{BP}+3 \overrightarrow{BP}

    PC=2BP.\phantom{{PC}}=2 \overrightarrow{BP}.

  2. On introduit le point PP dans AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} :

    2AB+AC=2(AP+PB)+AP+PC2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2 \left(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PB} \right)+\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PC} (Bien penser aux parenthèses !)

    2AB+AC=2AP+2PB+AP+PC\phantom{2{AB}+{AC}}=2 \overrightarrow{AP}+2\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PC} (Distributivité)

    2AB+AC=3AP+2PB+PC\phantom{2{AB}+{AC}}=3 \overrightarrow{AP}+2\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}

    Or, d'après la question a. PC=2BP\overrightarrow{PC}=2 \overrightarrow{BP}, donc :

    2AB+AC=3AP+2PB+2BP2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3 \overrightarrow{AP}+2\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{BP}

    2AB+AC=3AP\phantom{2{AB}+{AC}}=3 \overrightarrow{AP}

    car les vecteurs 2PB2\overrightarrow{PB} et 2BP2\overrightarrow{BP} sont opposés.

Exemple 3

Soit ABCDABCD un quadrilatère quelconque et I,J,K,LI, J, K, L les milieux de [AB],[BC],[CD],[DA].[AB], [BC], [CD], [DA].

milieu des côtés d'un parallélogramme

Montrer que IJ=LK.\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{LK}.

Solution :

Voici une solution (parmi d'autres...) :

IJ=IB+BJ\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BJ} (introduction du point BB)

IJ=12AB+12BC\phantom{{IJ}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} (propriété des milieux)

IJ=12(AB+BC)\phantom{{IJ}}=\dfrac{1}{2} \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right) (« factorisation » )

IJ=12AC\phantom{{IJ}}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AC} (relation de Chasles).

On procède ensuite de façon analogue pour LK\overrightarrow{LK} :

LK=LD+DK\overrightarrow{LK}=\overrightarrow{LD}+\overrightarrow{DK} (introduction du point DD)

LK=12AD+12DC\phantom{LK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC} (propriété des milieux)

LK=12(AD+DC)\phantom{{LK}}=\dfrac{1}{2} \left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC} \right) (« factorisation » )

LK=12AC\phantom{{LK}}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AC} (relation de Chasles).

Par conséquent : IJ=LK.\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{LK}.