$[AI]$ et $[BI]$ sont deux rayons du cercle $\mathscr{C}$ et $[AJ]$ et $[BJ]$ sont deux rayons du cercle $\mathscr{C}^{\prime}$.

Les deux cercles ayant le même rayon : $AI=BI=AJ=BJ$. Par conséquent, $AIBJ$ est un losange.

$[AP]$ et $[BQ]$ , les diagonales du quadrilatère $ABPQ$, sont deux diamètres du cercle $\mathscr{C}$.

Ces diagonales sont donc de même longueur et elles se coupent en leur milieu.

Par conséquent, $ABPQ$ est un rectangle.

$I$ est le milieu du segment $[AP]$ donc $\overrightarrow{ AI } = \overrightarrow{ IP }.$

$AJBI$ est un losange donc c'est également un parallélogramme.

Par conséquent : $\overrightarrow{ AI } = \overrightarrow{ JB }.$

Or, d'après la question précédente $\overrightarrow{ AI } = \overrightarrow{ IP }.$ On en déduit que $\overrightarrow{ JB } = \overrightarrow{ IP }.$ et donc que $IPBJ$ est un parallélogramme.

La démonstration est analogue pour $IBRJ$ :

$\overrightarrow{ IB } = \overrightarrow{ AJ } = \overrightarrow{ JR },$

donc $IBRJ$ est un parallélogramme.

Puisque $IPBJ$ est un parallélogramme : $\overrightarrow{ PB } = \overrightarrow{ IJ }.$
Puisque $IBRJ$ est un parallélogramme : $\overrightarrow{ BR } = \overrightarrow{ IJ }.$

Par conséquent, $\overrightarrow{ PB } = \overrightarrow{ BR }$ donc $B$ est le milieu du segment $[PR].$