Lever une forme indéterminée
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteMéthode 1 : Factoriser le terme de plus haut degré
Méthode
Cette méthode s'emploie notamment lorsque l'on rencontre une forme indéterminée du type « $ \infty - \infty $ » pour un polynôme ou « $ \dfrac{\pm \infty }{\pm \infty } $ » pour une fonction rationnelle. Elle consiste à :
- mettre le terme deplus haut degré en facteur
- dans le cas d'une fraction, simplifier au maximum
- l'indétermination devrait avoir disparue et il est possible de calculer la limite à l'aide des règles de calcul usuelles
Exemple
Calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \left(x^{2} - 3x\right) $.
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } x^{2}=+\infty $
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } - 3x= - \infty $
On rencontre ici une forme indéterminée du type « $ +\infty - \infty $ ».
On va mettre $ x^{2} $ en facteur.Il ne s'agit pas d'une factorisation « classique » puisque $ x^{2} $ n'apparaît pas dans le terme $ - 3x $ Il s'agit d'une factorisation « forcée » qui va faire apparaître des fractions dans le second facteur :
$ x^{2} - 3x=x^{2}\left(1 - \dfrac{3x}{x^{2}}\right)=x^{2}\left(1 - \dfrac{3}{x}\right) $
Maintenant l'indétermination a été levée. On a :
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( - \dfrac{3}{x}\right)=0 $
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(1 - \dfrac{3}{x}\right)=1 $
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{2}=+\infty $
et par produit :
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } x^{2}\left(1 - \dfrac{3}{x}\right)=+\infty $
En conclusion : $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \left(x^{2} - 3x\right)=+\infty $
Exemple
On veut calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty } \dfrac{x^{2}+1}{x+1} $
$ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty } \left(x^{2}+1\right)=+\infty $
$ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty } \left(x+1\right)= - \infty $
On a une forme indéterminée du type « $ \dfrac{+\infty }{ - \infty } $ »
On met $ x^{2} $ en facteur au numérateur et $ x $ en facteur au dénominateur :
$ \dfrac{x^{2}+1}{x+1}=\dfrac{x^{2}\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}{x\left(1+\dfrac{1}{x}\right)} $
Puis on simplifie par $ x $ :
$ \dfrac{x^{2}\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}{x\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}=\dfrac{x\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}{1+\dfrac{1}{x}} $
L'indétermination a disparue ; en effet :
$ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)=1 $
$ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)= - \infty $
$ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=1 $
donc par quotient :
$ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\dfrac{x\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}{1+\dfrac{1}{x}}= - \infty $
Finalement : $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty } \dfrac{x^{2}+1}{x+1}= - \infty $
Méthode 2 : Multiplier par l'« expression conjuguée »
Méthode
Cette méthode s'emploie lorsque l'on a affaire une forme indéterminée du type « $ \infty - \infty $ » dans une expression comportant des racines carrées (du type $ \sqrt{A\left(x\right)} - \sqrt{B\left(x\right)} $ par exemple).
Cette méthode consiste à multiplier et à diviser par l'« expression conjuguée »de $ \sqrt{A\left(x\right)} - \sqrt{B\left(x\right)} $, c'est-à-dire $ \sqrt{A\left(x\right)}+\sqrt{B\left(x\right)} $.
Exemple
Calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x} - \sqrt{x+1} $.
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x}=+\infty $
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x+1}=+\infty $
On rencontre donc une forme indéterminée du type « $ +\infty - \infty $ ».
On va multiplier et diviser par $ \sqrt{x} + \sqrt{x+1} $:
$ \sqrt{x} - \sqrt{x+1}=\dfrac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{x+1}\right)}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} $
On a une identité remarquable au numérateur :
$ \dfrac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{x+1}\right)}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}=\dfrac{\left(\sqrt{x}\right)^{2} - \left(\sqrt{x+1}\right)^{2}}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}=\dfrac{x - \left(x+1\right)}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}=\dfrac{ - 1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} $
Il n'y a plus d'indétermination :
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(\sqrt{x}\right)=+\infty $
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(\sqrt{x+1}\right)=+\infty $
donc par somme :
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(\sqrt{x} + \sqrt{x+1}\right)=+\infty $
et par quotient :
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{ - 1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}=0 $
En conclusion : $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x} - \sqrt{x+1}=0 $
Méthode 3 : Utilisation de la définition du nombre dérivé
Cette méthode est détaillée sur cette page : Calculer une limite à l'aide du nombre dérivé