Limites et racine carrée

Remarque préliminaire : $ f $ est bien définie sur $ \mathbb{R} $ car pour tout $ x \in \mathbb{R} $ $ x^{2}+x+1 > 0 $; en effet le discriminant de $ x^{2}+x+1 $ vaut $ \Delta = - 3 < 0 $ donc $ x^{2}+x+1 $ est toujours du signe de $ a=1 $ donc strictement positif.

1. En $ - \infty $ :
   
   $ x^{2}+x+1=x^{2}\left(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right) $
   
   Or :
   
   $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x^{2}=+\infty $
   
   $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\left(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)=1 $
   
   donc par produit :
   
   $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x^{2}+x+1=+\infty $
   
   On en déduit que
   
   $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\sqrt{x^{2}+x+1}=+\infty $ (composition de limites)
   
   Par ailleurs :
   
   $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty } - x=+\infty $
   
   donc par somme :
   
   $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\sqrt{x^{2}+x+1} - x=+\infty $
2. En $ +\infty $ :
   
   On a une forme indéterminée du type «$ \infty - \infty $». On lève l'indétermination en multipliant et en divisant par l'expression conjuguée (voir Méthode : Formes indéterminées) :
   
   $ f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}+x+1} - x =\dfrac{\left(\sqrt{x^{2}+x+1} - x \right)\left(\sqrt{x^{2}+x+1} + x \right)}{\sqrt{x^{2}+x+1} + x} $
   
   $ f\left(x\right)=\dfrac{\left(\sqrt{x^{2}+x+1}\right)^{2} - x^{2}}{\sqrt{x^{2}+x+1} + x }=\dfrac{x^{2}+x+1 - x^{2}}{\sqrt{x^{2}+x+1} + x }=\dfrac{x+1 }{\sqrt{x^{2}+x+1} + x } $
   
   Cette fois lorsque l'on fait tendre $ x $ vers $ +\infty $ on a une forme indéterminée du type «$ \dfrac{\infty}{\infty} $»
   
   Pour lever l'indétermination on met $ x $ en facteur au numérateur et au dénominateur.
   
   Au numérateur :
   
   $ x+1=x \left(1+1/x\right) $
   
   Au dénominateur :
   
   $ \sqrt{x^{2}+x+1} + x = \sqrt{x^{2}+x+1} + x = \sqrt{x^{2}\left(1+1/x+1/x^{2}\right)} +x $
   
   Pour $ x > 0 $, $ \sqrt{x^{2}}=x $ donc :
   
   $ \sqrt{x^{2}+x+1} + x = x\sqrt{1+1/x+1/x^{2}} +x = x \left(\sqrt{1+1/x+1/x^{2}} +1\right) $
   
   On obtient donc après simplification par $ x $ :
   
   $ f\left(x\right)=\dfrac{1+1/x}{\sqrt{1+1/x+1/x^{2}} +1} $
   
   Or
   
   $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }1+1/x=1 $
   
   $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{1+1/x+1/x^{2}} + 1=2 $
   
   donc par quotient :
   
   $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=\dfrac{1}{2} $