Exercice corrigéSoit la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{1\right\} par f\left(x\right)=\frac{2x^{2}+1}{\left(x-1\right)^{2}} et \mathscr C_{f} sa courbe représentative dans un repère \left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right).
Déterminer les équations des asymptotes à la courbe \mathscr C_{f} .
Corrigé
- Limites en +\infty et -\infty :
On a une forme indéterminée du type «\frac{ \infty}{\infty} » (voir Méthode : Formes indéterminées)
On développe le dénominateur puis on factorise par x^{2} au numérateur et au dénominateur :
f\left(x\right)=\frac{2x^{2}+1}{\left(x-1\right)^{2}}=\frac{2x^{2}+1}{x^{2}-2x+1}=\frac{x^{2}\left(2+1/x^{2}\right)}{x^{2}\left(1-2/x+1/x^{2}\right)}=\frac{2+1/x^{2}}{1-2/x+1/x^{2}}
Lorsque x\rightarrow \pm \infty le numérateur tend vers 2 et le dénominateur tend vers 1 donc par quotient :
\lim\limits_{x\rightarrow \pm \infty }f\left(x\right)=2
La courbe \mathscr C_{f} admet donc la droite d’équation y=2 comme asymptote horizontale.. - Limite en 1
Lorsque x\rightarrow 1, le dénominateur tend vers zéro; on a affaire à une limite du type «\frac{k}{0}» (voir fiche : limite du type «k/0»)
Pour x\neq 1 le dénominateur (qui est un carré) et le numérateur sont strictement positif donc :
\lim\limits_{x\rightarrow 1}f\left(x\right)=+\infty
Remarque : Il n’est pas utile de distinguer ici limite à gauche et limite à droite; en effet f ne change pas de signe donc les limites à droite et à gauche sont égales.
La courbe C_{f} admet donc une asymptote verticale d’équation x=1
