Construire un arbre pondéré et calculer une intersection
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Pour modéliser une expérience aléatoire à plusieurs étapes par un arbre pondéré et calculer une intersection :
- Étape 1 : identifier la première étape de l'expérience et tracer un nœud par issue possible. Chaque branche partant de la racine porte la probabilité de l'événement correspondant. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud doit être égale à $ 1 $.
- Étape 2 : à partir de chaque nœud de la première étape, prolonger l'arbre avec les issues de la seconde étape. Chaque branche secondaire porte la probabilité conditionnelle de l'événement, sachant que l'on se trouve dans le nœud parent.
- Étape 3 : pour calculer $ p(A\cap B) $, repérer le chemin partant de la racine, passant par $ A $ puis par $ B $, et multiplier les probabilités le long de ce chemin :
Remarque
Sur un arbre pondéré bien construit, deux propriétés se vérifient toujours :
- la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $ 1 $ ;
- la probabilité d'une intersection le long d'un chemin se calcule en multipliant.
Expérience à deux étapes
Une urne contient $ 5 $ boules vertes et $ 3 $ boules rouges, indiscernables au toucher. On tire successivement deux boules sans remise. On note $ V_1 $ : « la première boule est verte » et $ V_2 $ : « la seconde boule est verte ». Construire l'arbre et calculer $ p(V_1\cap V_2) $.
Étape 1 : première étape, l'urne contient $ 8 $ boules dont $ 5 $ vertes :
Étape 2 : sachant $ V_1 $, il reste $ 7 $ boules dont $ 4 $ vertes ; sachant $ \overline{V_1} $, il reste $ 7 $ boules dont $ 5 $ vertes :
L'arbre pondéré complet est :
Étape 3 : le chemin associé à $ V_1\cap V_2 $ part de la racine, passe par $ V_1 $ puis $ V_2 $. On multiplie les probabilités du chemin :
Contexte concret : contrôle qualité
Dans un atelier, $ 70\,\% $ des moteurs sont fabriqués par l'unité $ A $ et le reste par l'unité $ B $. Un moteur produit par $ A $ a une probabilité de $ 0{,}02 $ d'être défectueux ; pour $ B $, cette probabilité est $ 0{,}05 $.
On choisit un moteur au hasard. On note $ A $ : « le moteur vient de l'unité $ A $ », $ B $ : « le moteur vient de l'unité $ B $ », et $ D $ : « le moteur est défectueux ». Calculer $ p(A\cap D) $.
Étape 1 : première étape, le choix de l'unité de production :
Étape 2 : seconde étape, l'état du moteur :
L'arbre pondéré associé est :
Étape 3 : on multiplie les probabilités le long du chemin $ A\to D $ :
Environ $ 1{,}4\,\% $ des moteurs proviennent de $ A $ et sont défectueux.
Attention
Erreurs fréquentes :
- Inscrire $ p(B) $ au lieu de $ p_A(B) $ sur les branches secondaires : sur l'arbre, ce sont toujours des probabilités conditionnelles qui apparaissent au-delà de la racine.
- Additionner les probabilités le long d'un chemin au lieu de les multiplier.
- Oublier de vérifier que la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut $ 1 $.