Calculer la limite d’une suite
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteÉtape 1 : Appliquer les règles opératoires
Calculer une limite de suite
Pour calculer $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}$ :
- Identifier les limites de chaque « morceau » de $u_{n}$ à l'aide des limites usuelles ($n^{k} \to +\infty$, $\dfrac{1}{n^{k}} \to 0$, $q^{n}$ selon $q$).
- Appliquer les règles de somme, produit et quotient.
- Si une forme indéterminée apparaît ($+\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$), il faut la lever (voir ci-dessous).
Lever une forme indéterminée : factoriser le terme dominant
Factoriser le terme de plus haut degré
Pour une expression polynomiale ou rationnelle, on factorise par le terme de plus haut degré :
- Polynôme : $a_{k}n^{k} + \dots + a_{0} = a_{k}n^{k}\left(1 + \dfrac{a_{k-1}}{a_{k}n} + \dots\right)$
- Fraction rationnelle : factoriser numérateur et dénominateur séparément, puis simplifier.
Les termes en $\dfrac{1}{n}$, $\dfrac{1}{n^{2}}$, etc. tendent vers $0$, ce qui lève l'indétermination.
Exemple
Calculons $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(2n^{2} - 5n + 1\right)$.
On a $\lim 2n^{2} = +\infty$ et $\lim (-5n) = -\infty$ : forme indéterminée $+\infty - \infty$.
On factorise par $n^{2}$ :
$2n^{2} - 5n + 1 = n^{2}\left(2 - \dfrac{5}{n} + \dfrac{1}{n^{2}}\right)$
Or $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(2 - \dfrac{5}{n} + \dfrac{1}{n^{2}}\right) = 2$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} n^{2} = +\infty$, donc par produit :
Exemple
Calculons $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{3n^{2} + n}{n^{3} - 1}$.
Forme indéterminée $\dfrac{+\infty}{+\infty}$. On factorise par le plus haut degré à chaque « étage » :
$\dfrac{3n^{2} + n}{n^{3} - 1} = \dfrac{n^{2}\left(3 + \dfrac{1}{n}\right)}{n^{3}\left(1 - \dfrac{1}{n^{3}}\right)} = \dfrac{3 + \dfrac{1}{n}}{n\left(1 - \dfrac{1}{n^{3}}\right)}$
Or $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(3 + \dfrac{1}{n}\right) = 3$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} n\left(1 - \dfrac{1}{n^{3}}\right) = +\infty$, donc par quotient :
Limite d'une suite géométrique
Identifier et utiliser une suite géométrique
Lorsque l'expression de $u_{n}$ fait apparaître un terme de la forme $q^{n}$ :
- Si $|q| < 1$ : $\lim\limits_{n \to +\infty} q^{n} = 0$.
- Si $q > 1$ : $\lim\limits_{n \to +\infty} q^{n} = +\infty$.
- Si $q \leqslant -1$ : pas de limite.
Pour une expression du type $a \cdot q^{n} + b$, on utilise ces résultats avec les règles opératoires.
Exemple
Calculons $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{2^{n} - 3}{2^{n} + 1}$.
$\lim\limits_{n \to +\infty} 2^{n} = +\infty$ (car $2 > 1$). C'est une forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$.
On factorise par $2^{n}$ :
$\dfrac{2^{n} - 3}{2^{n} + 1} = \dfrac{2^{n}\left(1 - \dfrac{3}{2^{n}}\right)}{2^{n}\left(1 + \dfrac{1}{2^{n}}\right)} = \dfrac{1 - \dfrac{3}{2^{n}}}{1 + \dfrac{1}{2^{n}}}$
Or $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{3}{2^{n}} = 0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2^{n}} = 0$, donc :