QCM : Théorèmes de convergence
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Ce QCM avancé porte sur les théorèmes de convergence : théorème des gendarmes, théorèmes de comparaison, convergence monotone et recherche de la limite par point fixe. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : Soit $u_n = \dfrac{2 + (-1)^n}{n}$ pour $n \geqslant 1$. La limite quand $n \to +\infty$ vaut :
- (Incorrect) n'existe pas (oscillation)
- (Incorrect) $1$
- (Correct) $0$
- (Incorrect) $2$
Question 2 : Une suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $10$. On peut affirmer que :
- (Incorrect) $\lim u_n = 10$
- (Incorrect) $\lim u_n = +\infty$
- (Correct) $(u_n)$ converge vers une limite $\ell \leqslant 10$
- (Incorrect) $(u_n)$ converge vers $u_0$
Question 3 : Une suite $(u_n)$ vérifie $u_n \geqslant n - 5$ pour tout entier $n$. On peut conclure :
- (Incorrect) $(u_n)$ converge
- (Incorrect) $(u_n)$ est bornée
- (Correct) $\lim u_n = +\infty$
- (Incorrect) on ne peut rien dire
Question 4 : Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$. On admet que $(u_n)$ converge vers une limite $\ell \geqslant 0$. Alors $\ell$ vaut :
- (Incorrect) $0$
- (Incorrect) $\sqrt{2}$
- (Correct) $2$
- (Incorrect) $-1$ ou $2$
Question 5 : Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}(u_n + 4)$. On admet que $(u_n)$ est croissante et majorée par $4$. Sa limite vaut :
- (Incorrect) $0$
- (Correct) $4$
- (Incorrect) $2$
- (Incorrect) $+\infty$
Question 6 : Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que $u_n \leqslant v_n$ à partir d'un certain rang. On suppose que $\lim u_n = +\infty$. On peut conclure :
- (Incorrect) $\lim v_n = 0$
- (Incorrect) $(v_n)$ est nécessairement bornée
- (Incorrect) $\lim v_n$ peut valoir n'importe quel réel
- (Correct) $\lim v_n = +\infty$