Soit la suite (u_n) définie pour tout entier n \geqslant 1 par :
u_n=\frac{1}{3^1}+\frac{2}{3^2}+ . . . +\frac{n}{3^n}
Partie A
- Calculer u_1,\ u_2,\ u_3. À l'aide d'une calculatrice, déterminer une valeur approchée de u_{100} à 10^{-3} près.
- Quel est le sens de variation de la suite (u_n) ?
Justifier la réponse. - Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, \left(\frac{3}{2} \right)^n \geqslant n
- Déduire de la question précédente un majorant de u_n.
- Prouver que la suite (u_n) est convergente.
Partie B
Dans la suite de l'exercice, on notera l la limite de la suite (u_n).
- Démontrer que pour tout entier naturel n, 3^{n+1} > n(n+1)^2
- Pour tout entier naturel n non nul, on pose v_n=u_n+ \frac{1}{n} .
Montrer que la suite (v_n) est décroissante. - Démontrer que la suite (v_n) est convergente.
Quelle est sa limite ? - Déterminer un encadrement de l d'amplitude 10^{-2}.
Corrigé
Solution rédigée par Paki
NB. La réponse fournie par Paki à la question A 5. est incorrecte.
La solution correcte serait d'utiliser le théorème de convergence monotone, la suite étant croissante majorée. suites-recurrence-limite
NB. La réponse fournie par Paki à la question A 5. est incorrecte.
La solution correcte serait d'utiliser le théorème de convergence monotone, la suite étant croissante majorée. suites-recurrence-limite