Suites – Récurrence – Limite

Soit la suite (u_n) définie pour tout entier n \geqslant 1 par :
u_n=\frac{1}{3^1}+\frac{2}{3^2}+ . . . +\frac{n}{3^n}

Partie A

1. Calculer u_1,\ u_2,\ u_3. À l’aide d’une calculatrice, déterminer une valeur approchée de u_{100} à 10^{-3} près.
2. Quel est le sens de variation de la suite (u_n) ?
   Justifier la réponse.
3. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, \left(\frac{3}{2} \right)^n \geqslant n
4. Déduire de la question précédente un majorant de u_n.
5. Prouver que la suite (u_n) est convergente.

Partie B

Dans la suite de l’exercice, on notera l la limite de la suite (u_n).

1. Démontrer que pour tout entier naturel n, 3^{n+1} > n(n+1)^2
2. Pour tout entier naturel n non nul, on pose v_n=u_n+ \frac{1}{n} .
   Montrer que la suite (v_n) est décroissante.
3. Démontrer que la suite (v_n) est convergente.
   Quelle est sa limite ?
4. Déterminer un encadrement de l d’amplitude 10^{-2}.