Suites – Bac S Centres étrangers 2013

Partie A - Algorithmique et conjectures

1. Les deux lignes complétées :

   Variables	$n$ est un entier naturel
   	$u$ est un réel
   Initialisation	Affecter à $n$ la valeur $1$
   	Affecter à $u$ la valeur $1{,}5$
   Traitement	Tant que $n < 9$
   	$\quad$ Affecter à $u$ la valeur $\mathbf{(n u + 1) / (2(n + 1))}$
   	$\quad$ Affecter à $n$ la valeur $\mathbf{n + 1}$
   	Fin Tant que
   Sortie	Afficher la variable $u$

2. Pour afficher tous les termes de $u_2$ jusqu'à $u_9$, il faut ajouter une instruction d'affichage à l'intérieur de la boucle, après la mise à jour de $u$ :

   Variables	$n$ est un entier naturel
   	$u$ est un réel
   Initialisation	Affecter à $n$ la valeur $1$
   	Affecter à $u$ la valeur $1{,}5$
   Traitement	Tant que $n < 9$
   	$\quad$ Affecter à $u$ la valeur $(n u + 1) / (2(n + 1))$
   	$\quad$ Afficher la variable $u$
   	$\quad$ Affecter à $n$ la valeur $n + 1$
   	Fin Tant que

3. Au vu de ces résultats, on conjecture que la suite $(u_n)$ est décroissante et qu'elle converge vers une limite $\ell$ telle que $0 \leqslant \ell < 0{,}0101$.

Partie B - Étude mathématique

1. On calcule $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. Pour tout $n \geqslant 1$ :
   $v_{n+1} = (n+1) u_{n+1} - 1 = (n+1) \times \dfrac{n u_n + 1}{2(n+1)} - 1 = \dfrac{n u_n + 1}{2} - 1 = \dfrac{n u_n - 1}{2} = \dfrac{v_n}{2}$
   Ainsi, pour tout $n \geqslant 1$, $v_{n+1} = \dfrac{1}{2} v_n$.
   Le premier terme est $v_1 = 1 \times u_1 - 1 = \dfrac{3}{2} - 1 = \dfrac{1}{2}$.
   La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_1 = \dfrac{1}{2}$.

2. D'après ce qui précède, pour tout entier $n \geqslant 1$ :
   $v_n = v_1 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} = \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = (0{,}5)^n$
   Or $v_n = n u_n - 1$, donc $n u_n = 1 + v_n = 1 + (0{,}5)^n$.
   On en déduit que :

   $u_n = \dfrac{1 + (0{,}5)^n}{n}$

3. Comme $|0{,}5| < 1$, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} (0{,}5)^n = 0$.
   Le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur vers $+\infty$.
   On en déduit que :

   $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$
4. Pour tout entier $n \geqslant 1$ :
   $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1 + (0{,}5)^{n+1}}{n+1} - \dfrac{1 + (0{,}5)^n}{n}$
   $u_{n+1} - u_n = \dfrac{n \left(1 + 0{,}5 \times (0{,}5)^n\right) - (n+1) \left(1 + (0{,}5)^n\right)}{n(n+1)}$
   $u_{n+1} - u_n = \dfrac{n + 0{,}5 n (0{,}5)^n - (n+1) - (n+1)(0{,}5)^n}{n(n+1)}$
   $u_{n+1} - u_n = \dfrac{-1 + \left(0{,}5 n - (n+1)\right)(0{,}5)^n}{n(n+1)}$
   $u_{n+1} - u_n = \dfrac{-1 - (1 + 0{,}5 n)(0{,}5)^n}{n(n+1)} = -\dfrac{1 + (1 + 0{,}5 n)(0{,}5)^n}{n(n+1)}$
   Puisque $n \geqslant 1$, on a $1 + (1 + 0{,}5 n)(0{,}5)^n > 0$ et $n(n+1) > 0$.
   Donc $u_{n+1} - u_n < 0$ : la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

Partie C - Retour à l'algorithmique

L'algorithme suivant détermine et affiche le plus petit entier $n$ tel que $u_n < 0{,}001$ :