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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites - Bac S Centres étrangers 2013

Exercice 4  (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

L'objet de cet exercice est l'étude de la suite (un)\left(u_{n}\right) définie par son premier terme u1=32u_{1}=\frac{3}{2} et la relation de récurrence : un+1=nun+12(n+1)u_{n+1} =\frac{nu_{n}+1}{2\left(n+1\right)}.

Partie A - Algorithmique et conjectures

Pour calculer et afficher le terme u9u_{9} de la suite, un élève propose l'algorithme ci-contre.

Il a oublié de compléter deux lignes.

Variables nn est un entier naturel
uu est un réel
Initialisation Affecter à nn la valeur 1
Affecter à uu la valeur 1,5
Traitement Tant que n<9n < 9
\quad Affecter à uu la valeur ...
\quad Affecter à nn la valeur ...
Fin Tant que
Sortie Afficher la variable uu

  1. Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension.

  2. Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de u2u_{2} jusqu'à u9u_{9} ?

  3. Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième:

    nn 1 2 3 4 5 6 ... 99 100
    unu_{n} 1,5 0,625 0,375 0,2656 0,2063 0,1693 ... 0,0102 0,0101
    Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (un)\left(u_{n}\right).

Partie B - Étude mathématique

On définit une suite auxiliaire (vn)\left(v_{n}\right) par : pour tout entier n1n\geqslant 1, vn=nun1v _{n}=nu_{n} - 1.

  1. Montrer que la suite (vn)\left(v_{n}\right) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.

  2. En déduire que, pour tout entier naturel n1n\geqslant 1, on a : un=1+(0,5)nnu_{n}=\frac{1+\left(0,5\right)^{n}}{n}.

  3. Déterminer la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right).

  4. Justifier que, pour tout entier n1n\geqslant 1 , on a : un+1un=1+(1+0,5n)(0,5)nn(n+1)u_{n+1} - u_{n}= - \frac{1+\left(1+0,5n\right)\left(0,5\right)^{n}}{n\left(n+1\right)}.

    En déduire le sens de variation de la suite (un)\left(u_{n}\right).

Partie C - Retour à l'algorithmique

En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier nn tel que un<0,001u_{n} < 0,001.