Calculer l’image d’un nombre par une fonction
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Soit $ f $ une fonction définie par une formule $ f\left(x\right) $.
L'image d'un nombre $ a $ par la fonction $ f $ est le nombre $ f\left(a\right) $.
Méthode
Pour calculer l'image d'un nombre $ a $ par une fonction $ f $ :
- Repérer la formule qui définit $ f\left(x\right) $.
- Remplacer chaque $ x $ par la valeur $ a $ dans la formule.
- Effectuer les calculs en respectant les priorités opératoires.
Attention
Quand on remplace $ x $ par un nombre négatif, il faut mettre des parenthèses autour de ce nombre. Sans parenthèses, le signe moins peut fausser le calcul, notamment avec les puissances.
Calculer une image avec un nombre positif
Soit la fonction $ f $ définie par $ f\left(x\right) = 3x^{2} - 5x + 1 $.
Calculer l'image de $ 2 $ par $ f $.
Étape 1 : on repère la formule : $ f\left(x\right) = 3x^{2} - 5x + 1 $.
Étape 2 : on remplace $ x $ par $ 2 $ :
$ f\left(2\right) = 3 \times 2^{2} - 5 \times 2 + 1 $
Étape 3 : on effectue les calculs :
$ f\left(2\right) = 3 \times 4 - 10 + 1 $
$ f\left(2\right) = 12 - 10 + 1 $
$ f\left(2\right) = 3 $
L'image de $ 2 $ par $ f $ est $ 3 $.
Calculer une image avec un nombre négatif
Soit la fonction $ g $ définie par $ g\left(x\right) = x^{2} + 4x - 3 $.
Calculer $ g\left(-3\right) $.
Étape 1 : on repère la formule : $ g\left(x\right) = x^{2} + 4x - 3 $.
Étape 2 : on remplace $ x $ par $ \left(-3\right) $ en mettant des parenthèses :
$ g\left(-3\right) = \left(-3\right)^{2} + 4 \times \left(-3\right) - 3 $
Étape 3 : on effectue les calculs :
$ g\left(-3\right) = 9 + \left(-12\right) - 3 $
$ g\left(-3\right) = 9 - 12 - 3 $
$ g\left(-3\right) = -6 $
L'image de $ -3 $ par $ g $ est $ -6 $.
Remarque
On peut aussi être amené à calculer l'image d'une fraction. Dans ce cas, on remplace $ x $ par la fraction entre parenthèses et on applique les règles de calcul sur les fractions.
Par exemple, si $ f\left(x\right) = 2x + 1 $, alors :
$ f\left(\dfrac{3}{4}\right) = 2 \times \dfrac{3}{4} + 1 = \dfrac{6}{4} + 1 = \dfrac{3}{2} + 1 = \dfrac{5}{2} $
Attention
L'erreur la plus fréquente est d'oublier les parenthèses avec un nombre négatif.
Par exemple, avec $ f\left(x\right) = x^{2} $ :
$ f\left(-3\right) = {\color{red} \left(-3\right)^{2} = 9} $ et non pas $ -3^{2} = -9 $.