Deux programmes de calcul

On applique chaque programme au nombre $ 3 $.

Programme 1 avec le nombre $ 3 $ :
$ 3 \longrightarrow 3^2 = 9 \longrightarrow 9 + 2 \times 3 = 15 \longrightarrow 15 - 3 = 12 $
Donc $\mathbf{f(3) = 12}$.

Programme 2 avec le nombre $ 3 $ :
$ 3 \longrightarrow 3 + 1 = 4 \longrightarrow 4^2 = 16 \longrightarrow 16 - 4 = 12 $
Donc $\mathbf{g(3) = 12}$.

On applique chaque programme à un nombre $ x $ quelconque.

Programme 1 :
$ x \longrightarrow x^2 \longrightarrow x^2 + 2x \longrightarrow x^2 + 2x - 3 $

Programme 2 :
$ x \longrightarrow x + 1 \longrightarrow (x + 1)^2 \longrightarrow (x + 1)^2 - 4 $

On développe $ g(x) $ en utilisant l'identité remarquable $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $ :
$ g(x) = (x + 1)^2 - 4 $
$ g(x) = x^2 + 2x + 1 - 4 $
$ g(x) = x^2 + 2x - 3 $

On remarque que $ g(x) = f(x) $ pour tout nombre $ x $. Les deux programmes donnent toujours le même résultat, quel que soit le nombre de départ.

Chercher les antécédents de $ 0 $ par $ f $ revient à résoudre l'équation $ f(x) = 0 $.

Comme $ f(x) = g(x) $, on peut écrire :
$ (x + 1)^2 - 4 = 0 $
$ (x + 1)^2 = 4 $

On cherche les nombres dont le carré vaut $ 4 $ : ce sont $ 2 $ et $ -2 $.

Donc $ x + 1 = 2 $ ou $ x + 1 = -2 $, ce qui donne :
$ x = 1 $ ou $ x = -3 $

Vérification : $ f(1) = 1 + 2 - 3 = 0 $ et $ f(-3) = 9 - 6 - 3 = 0 $.

Le nombre $ 0 $ admet deux antécédents par $ f $ : $ 1 $ et $ -3 $.