Image et antécédent avec tableur – Brevet Amérique du Sud décembre 2024
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Créer un compteObjectifs travaillés
On considère deux fonctions $ f $ et $ g $ définies par :
- Montrer que l'image de 5 par la fonction $ f $ est 14.
- Déterminer l'antécédent de 4 par la fonction $ g $.
Pour calculer des images de nombres par les fonctions $ f $ et $ g $, on utilise un tableur et on obtient la copie d'écran suivante :
A B C D E F G H 1 $ x $ $ -4 $ $ -3 $ $ -2 $ $ -1 $ $ 0 $ $ 1 $ $ 2 $ 2 $ f(x) = x^2 - x - 6 $ $ 14 $ $ 6 $ $ 0 $ $ -4 $ $ -6 $ $ -6 $ $ -4 $ 3 $ g(x) = -2x $ $ 8 $ $ 6 $ $ 4 $ $ 2 $ $ 0 $ $ -2 $ $ -4 $ c. A l'aide des informations précédentes, citer deux antécédents de 14 par la fonction $ f $.
d. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B2 avant de l'étirer vers la droite jusqu'à la cellule H2 ?
e. Existe-t-il un nombre qui a la même image par la fonction $ f $ et par la fonction $ g $ ?
- Montrer que, pour tout nombre $ x $, $ f(x) $ est égal à $ (x+2)(x-3) $.
- Résoudre l'équation $ f(x) = 0 $.
Corrigé
On remplace $ x $ par 5 dans l'expression de $ f(x) $ :
$ f(5) = 5^2 - 5 - 6 $
$ f(5) = 25 - 5 - 6 $
$ f(5) = 14 $L'image de 5 par la fonction $ f $ est bien 14.On cherche la valeur de $ x $ telle que $ g(x) = 4 $.
$ -2x = 4 $
$ x = \dfrac{4}{-2} $
$ x = -2 $L'antécédent de 4 par la fonction $ g $ est $ -2 $.
c. Un antécédent de 14 par $ f $ est une valeur de $ x $ telle que $ f(x) = 14 $.
Dans le tableau, on lit $ f(-4) = 14 $.
De plus, on a montré à la question 1.a. que $ f(5) = 14 $.Deux antécédents de 14 par la fonction $ f $ sont $ -4 $ et $ 5 $.d. La formule doit calculer $ x^2 - x - 6 $ en utilisant la référence de cellule B1 (qui contient la valeur de $ x $).
La formule saisie en B2 est : =B1*B1-B1-6 (ou =B1^2-B1-6)e. On cherche une valeur de $ x $ telle que $ f(x) = g(x) $, c'est-à-dire un nombre qui a la même image par $ f $ et par $ g $.
En observant le tableau, pour $ x = -3 $ : $ f(-3) = 6 $ et $ g(-3) = 6 $.Oui, le nombre $ -3 $ a la même image (qui est 6) par $ f $ et par $ g $.(On peut aussi remarquer que pour $ x = 2 $ : $ f(2) = -4 $ et $ g(2) = -4 $.)
On développe $ (x+2)(x-3) $ :
$ (x+2)(x-3) = x \times x + x \times (-3) + 2 \times x + 2 \times (-3) $
$ = x^2 - 3x + 2x - 6 $
$ = x^2 - x - 6 $On retrouve bien $ f(x) $, donc pour tout nombre $ x $, $ f(x) = (x+2)(x-3) $.On résout l'équation $ f(x) = 0 $, soit $ (x+2)(x-3) = 0 $.
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
$ x + 2 = 0 $ donne $ x = -2 $
$ x - 3 = 0 $ donne $ x = 3 $L'équation $ f(x) = 0 $ admet deux solutions : $ x = -2 $ et $ x = 3 $.
Pour réviser : Calculer l'image d'un nombre par une fonction