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Notion de fonction Exercices

Aire d’un polygone et fonction

Durée estimée
20 minutes
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Objectifs travaillés

$ ABCD $ est un rectangle tel que $ AB = 8 $ cm et $ AD = 5 $ cm. On place un point $ M $ sur le segment $ [AB] $ et un point $ N $ sur le segment $ [AD] $ tels que $ AM = AN = x $.

Rectangle ABCD avec le polygone BCDNM coloré

On appelle $ f $ la fonction qui, à la longueur $ x $, associe l'aire en cm$^2$ du polygone $ BCDNM $ (zone colorée).

  1. Quelles sont les valeurs possibles pour $ x $ ?
  2. Montrer que l'aire du triangle $ AMN $ vaut $ \dfrac{x^2}{2} $.
  3. En déduire que $ f(x) = 40 - \dfrac{x^2}{2} $.
  4. Calculer $ f(3) $. Interpréter le résultat.
  5. Déterminer la valeur de $ x $ pour laquelle $ f(x) = 32 $. Interpréter.
  6. Peut-on trouver un antécédent de $ 25 $ par la fonction $ f $ qui soit une valeur possible de $ x $ ? Justifier.

Corrigé

  1. Le point $ M $ est sur le segment $ [AB] $, donc $ 0 \leqslant x \leqslant AB = 8 $.
    Le point $ N $ est sur le segment $ [AD] $, donc $ AN = x \leqslant AD = 5 $.

    En combinant ces deux conditions, on obtient :

    $\mathbf{0 \leqslant x \leqslant 5}$

  2. Le triangle $ AMN $ est rectangle en $ A $ (car $ ABCD $ est un rectangle, donc l'angle en $ A $ est droit).

    Les deux côtés de l'angle droit mesurent $ AM = x $ et $ AN = x $.

    L'aire d'un triangle rectangle est égale à la moitié du produit des côtés de l'angle droit :

    Aire de $ AMN = \dfrac{AM \times AN}{2} = \dfrac{x \times x}{2} = \dfrac{x^2}{2} $

  3. Le polygone $ BCDNM $ est obtenu en retirant le triangle $ AMN $ du rectangle $ ABCD $.

    L'aire du rectangle $ ABCD $ vaut $ AB \times AD = 8 \times 5 = 40 $ cm$^2$.

    Donc :
    $ f(x) = \text{Aire de } ABCD - \text{Aire de } AMN = 40 - \dfrac{x^2}{2} $

    On a bien $ f(x) = 40 - \dfrac{x^2}{2} $.

  4. On remplace $ x $ par $ 3 $ dans l'expression de $ f $ :
    $ f(3) = 40 - \dfrac{3^2}{2} = 40 - \dfrac{9}{2} = 40 - 4{,}5 = 35{,}5 $

    $ f(3) = 35{,}5 $. Cela signifie que lorsque $ AM = AN = 3 $ cm, l'aire du polygone $ BCDNM $ vaut $ 35{,}5 $ cm$^2$.

  5. On cherche la valeur de $ x $ telle que $ f(x) = 32 $, c'est-à-dire un antécédent de $ 32 $ par $ f $ :
    $ 40 - \dfrac{x^2}{2} = 32 $
    $ \dfrac{x^2}{2} = 40 - 32 $
    $ \dfrac{x^2}{2} = 8 $
    $ x^2 = 16 $
    $ x = 4 $ (on ne retient que la valeur positive car $ x $ est une longueur)

    Comme $ 0 \leqslant 4 \leqslant 5 $, cette valeur est bien possible.

    L'aire du polygone $ BCDNM $ vaut $ 32 $ cm$^2$ lorsque $ x = 4 $ cm.

  6. On cherche $ x $ tel que $ f(x) = 25 $ :
    $ 40 - \dfrac{x^2}{2} = 25 $
    $ \dfrac{x^2}{2} = 15 $
    $ x^2 = 30 $
    $ x = \sqrt{30} \approx 5{,}48 $

    Or les valeurs possibles de $ x $ vérifient $ 0 \leqslant x \leqslant 5 $, et $ \sqrt{30} \approx 5{,}48 > 5 $.

    Il n'existe pas de valeur possible de $ x $ pour laquelle $ f(x) = 25 $. Le nombre $ 25 $ n'a pas d'antécédent par $ f $ dans l'intervalle $ [0 ; 5] $.