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Notion de fonction Exercices

Fonction définie par intervalles

Durée estimée
15 minutes
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Objectifs travaillés

La fonction $ f $ est définie de la manière suivante :

  • si $ x < 0 $, alors $ f(x) = 2x + 5 $ ;
  • si $ x \geqslant 0 $, alors $ f(x) = x^2 - 1 $.
  1. Calculer $ f(-3) $, $ f(0) $, $ f(4) $ et $ f(-1) $.
  2. Déterminer tous les antécédents de $ 3 $ par la fonction $ f $.
  3. Les points $ A(1 ; 0) $, $ B(-2 ; 1) $ et $ C(-3 ; -2) $ appartiennent-ils à la courbe représentative de $ f $ ? Justifier par le calcul.

Corrigé

  1. On applique la formule correspondant au signe de la variable.

    Pour $ x = -3 $ : comme $ -3 < 0 $, on utilise $ f(x) = 2x + 5 $ :
    $ f(-3) = 2 \times (-3) + 5 = -6 + 5 = -1 $

    Pour $ x = 0 $ : comme $ 0 \geqslant 0 $, on utilise $ f(x) = x^2 - 1 $ :
    $ f(0) = 0^2 - 1 = -1 $

    Pour $ x = 4 $ : comme $ 4 \geqslant 0 $, on utilise $ f(x) = x^2 - 1 $ :
    $ f(4) = 4^2 - 1 = 16 - 1 = 15 $

    Pour $ x = -1 $ : comme $ -1 < 0 $, on utilise $ f(x) = 2x + 5 $ :
    $ f(-1) = 2 \times (-1) + 5 = -2 + 5 = 3 $

    $ f(-3) = -1 $, $ f(0) = -1 $, $ f(4) = 15 $ et $ f(-1) = 3 $.

  2. On cherche les valeurs de $ x $ telles que $ f(x) = 3 $.

    Cas 1 : si $ x < 0 $, on résout $ 2x + 5 = 3 $ :
    $ 2x = -2 $
    $ x = -1 $
    Comme $ -1 < 0 $, cette valeur convient.

    Cas 2 : si $ x \geqslant 0 $, on résout $ x^2 - 1 = 3 $ :
    $ x^2 = 4 $
    $ x = 2 $ ou $ x = -2 $
    Comme $ x \geqslant 0 $, seul $ x = 2 $ convient.

    Le nombre $ 3 $ admet deux antécédents par $ f $ : $ -1 $ et $ 2 $.

  3. Un point de coordonnées $ (\alpha ; \beta) $ appartient à la courbe de $ f $ si et seulement si $ f(\alpha) = \beta $.

    Pour $ A(1 ; 0) $ : comme $ 1 \geqslant 0 $, on calcule $ f(1) = 1^2 - 1 = 0 $. On a bien $ f(1) = 0 $, donc $ A $ appartient à la courbe.

    Pour $ B(-2 ; 1) $ : comme $ -2 < 0 $, on calcule $ f(-2) = 2 \times (-2) + 5 = 1 $. On a bien $ f(-2) = 1 $, donc $ B $ appartient à la courbe.

    Pour $ C(-3 ; -2) $ : comme $ -3 < 0 $, on calcule $ f(-3) = 2 \times (-3) + 5 = -1 $. Or $ -1 \neq -2 $, donc $ C $ n'appartient pas à la courbe.