Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Connexion Inscription
Notion de fonction Exercices

Image et antécédent – Brevet Métropole Antilles-Guyane septembre 2024

Durée estimée
15 minutes
Difficulté
Votre progression

Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.

Créer un compte

Objectifs travaillés

On considère la fonction $ f $ définie par

$ f(x) = x^2 + 10x + 16 $
  1. Vérifier par le calcul que l'image de 6 par la fonction $ f $ est 112.

  2. On utilise un tableur afin de calculer les images des entiers compris entre $ -4 $ et 4 par la fonction $ f $.

      A B C D E F G H I J
    1 $ x $ $ -4 $ $ -3 $ $ -2 $ $ -1 $ $ 0 $ $ 1 $ $ 2 $ $ 3 $ $ 4 $
    2 $ f(x) $ $ -8 $ $ -5 $ $ 0 $ $ 7 $ $ 16 $ $ 27 $ $ 40 $ $ 55 $ $ 72 $

    1. Parmi les 4 formules ci-dessous, recopier celle qui a été saisie dans la cellule B2, puis étirée vers la droite afin de calculer les images des nombres donnés par la fonction $ f $.

      • `=B1*B1+10*B1+16`
      • `=A1*A1+10*A1+16`
      • `=(-4)*(-4)+10*(-4)+16`
      • `=x*x+10*x+16`
    2. En utilisant le tableau, déterminer un antécédent de 0.
    1. Démontrer que $ f(x) $ peut s'écrire $ (x+2)(x+8) $.
    2. En déduire un autre antécédent de 0 par la fonction $ f $.

Corrigé

  1. On remplace $ x $ par 6 dans l'expression de $ f(x) $ :
    $ f(6) = 6^2 + 10 \times 6 + 16 $
    $ f(6) = 36 + 60 + 16 $
    $ f(6) = 112 $

    L'image de 6 par la fonction $ f $ est bien 112.

    1. La formule doit utiliser la référence de la cellule B1 (qui contient la valeur de $ x $) pour pouvoir être étirée vers la droite. Elle doit calculer $ x^2 + 10x + 16 $ en remplaçant $ x $ par le contenu de B1.
      La formule `=A1*A1+10*A1+16` utilise la cellule A1, qui ne contient pas une valeur de $ x $ mais le libellé « $ x $ ».
      La formule `=(-4)*(-4)+10*(-4)+16` utilise directement la valeur $ -4 $ : elle ne s'adaptera pas en l'étirant.
      La formule `=x*x+10*x+16` n'est pas valide dans un tableur car $ x $ n'est pas une référence de cellule.

      La formule saisie en B2 est : `=B1*B1+10*B1+16`

    2. Un antécédent de 0 est une valeur de $ x $ telle que $ f(x) = 0 $. On cherche dans la ligne 2 du tableau la valeur 0.
      On trouve $ f(-2) = 0 $.

      Un antécédent de 0 par la fonction $ f $ est $ -2 $.

    1. On développe $ (x+2)(x+8) $ :
      $ (x+2)(x+8) = x \times x + x \times 8 + 2 \times x + 2 \times 8 $
      $ = x^2 + 8x + 2x + 16 $
      $ = x^2 + 10x + 16 $

      On retrouve bien $ f(x) $, donc $ f(x) = (x+2)(x+8) $.

    2. On cherche les valeurs de $ x $ telles que $ f(x) = 0 $, c'est-à-dire $ (x+2)(x+8) = 0 $.
      Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
      $ x + 2 = 0 $ donne $ x = -2 $ (déjà trouvé à la question 2.b.)
      $ x + 8 = 0 $ donne $ x = -8 $

      Un autre antécédent de 0 par la fonction $ f $ est $ -8 $.