Antécédents et représentation graphique – Brevet Centres étrangers juin 2024
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On considère le programme de calcul suivant :
Partie A
- Justifier qu'en choisissant 5 comme nombre de départ, le résultat final obtenu est 18.
- Calculer le résultat final donné par ce programme lorsque le nombre de départ choisi est $ -\dfrac{3}{2} $.
- Le script donné en ANNEXE, écrit avec un logiciel de programmation, correspond au programme de calcul ci-dessus. Compléter les lignes 3, 4 et 5 du script sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie. Aucune justification n'est attendue.
- Quel(s) nombre(s) doit-on choisir comme nombre de départ pour que le programme de calcul donne 0 comme résultat final ?
Partie B
Soit la fonction $ g $ définie, pour un nombre $ x $ donné, par $ g(x) = x^2 - x - 2 $.
- Prouver que $ (x-2)(x+1) = x^2 - x - 2 $.
- Résoudre l'équation $ (x-2)(x+1) = 0 $.
- En déduire les antécédents de 0 par la fonction $ g $. Aucune justification n'est attendue.
Parmi les trois graphiques ci-dessous, lequel correspond à la représentation graphique de la fonction $ g $? Aucune justification n'est attendue.
Corrigé
Partie A
On choisit 5 comme nombre de départ.
Le programme effectue deux opérations en parallèle :
D'un côté : $ 5 - 2 = 3 $
De l'autre : $ 5 + 1 = 6 $
On multiplie les deux résultats : $ 3 \times 6 = 18 $.En choisissant 5, le résultat final est bien 18.On choisit $ -\dfrac{3}{2} $ comme nombre de départ.
D'un côté : $ -\dfrac{3}{2} - 2 = -\dfrac{3}{2} - \dfrac{4}{2} = -\dfrac{7}{2} $
De l'autre : $ -\dfrac{3}{2} + 1 = -\dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{2} = -\dfrac{1}{2} $
On multiplie les deux résultats :
$ -\dfrac{7}{2} \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{7}{4} $Le résultat final est $ \dfrac{7}{4} $.- Le script correspond au programme de calcul :
Ligne 3 : `mettre a à réponse - 2`
Ligne 4 : `mettre b à réponse + 1`
Ligne 5 : `dire a * b` On note $ x $ le nombre de départ. Le programme calcule $ (x-2)(x+1) $.
On cherche $ x $ tel que $ (x-2)(x+1) = 0 $.
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
$ x - 2 = 0 $ donne $ x = 2 $
$ x + 1 = 0 $ donne $ x = -1 $Il faut choisir $ 2 $ ou $ -1 $ pour obtenir 0 comme résultat final.
Partie B
On développe $ (x-2)(x+1) $ :
$ (x-2)(x+1) = x \times x + x \times 1 + (-2) \times x + (-2) \times 1 $
$ = x^2 + x - 2x - 2 $
$ = x^2 - x - 2 $On a bien prouvé que $ (x-2)(x+1) = x^2 - x - 2 $.On résout l'équation $ (x-2)(x+1) = 0 $.
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
$ x - 2 = 0 $ donne $ x = 2 $
$ x + 1 = 0 $ donne $ x = -1 $Les solutions de l'équation sont $ x = 2 $ et $ x = -1 $.Puisque $ g(x) = (x-2)(x+1) $, les antécédents de 0 par $ g $ sont les solutions de $ g(x) = 0 $.
Les antécédents de 0 par la fonction $ g $ sont $ -1 $ et $ 2 $.
La fonction $ g $ est définie par $ g(x) = x^2 - x - 2 $.
On sait que $ g(-1) = 0 $ et $ g(2) = 0 $ : la courbe doit couper l'axe des abscisses en $ x = -1 $ et $ x = 2 $.
De plus, $ g(0) = 0^2 - 0 - 2 = -2 $ : la courbe doit passer par le point $ (0~;~-2) $.
Le coefficient de $ x^2 $ est positif (égal à 1), donc la parabole est tournée vers le haut.Le Graphique 1 représente une courbe en S (ni une parabole), il ne convient pas.
Le Graphique 2 est une parabole, mais elle ne coupe pas l'axe des abscisses aux bonnes valeurs.
Le Graphique 3 est une parabole qui coupe l'axe des abscisses en $ -1 $ et $ 2 $ et passe par $ (0~;~-2) $.La représentation graphique de la fonction $ g $ est le Graphique 3.