Tableau de valeurs et paramètre

Durée estimée

15 minutes

Difficulté

On considère la fonction $ g $ définie par $ g(x) = x^2 + ax + 6 $ où $ a $ est un nombre à déterminer.

On sait que $ g(2) = 4 $.

Déterminer la valeur de $ a $.
Compléter le tableau de valeurs suivant :

$ x $ $ -3 $ $ -2 $ $ -1 $ $ 0 $ $ 1 $ $ 2 $ $ 3 $

$ g(x) $
Déterminer les antécédents de $ 6 $ par la fonction $ g $.
Le point $ D(4 ; 10) $ appartient-il à la courbe représentative de $ g $ ? Justifier.

Corrigé

On utilise l'information $ g(2) = 4 $ pour déterminer $ a $.

On remplace $ x $ par $ 2 $ dans l'expression de $ g $ :
$ g(2) = 2^2 + a \times 2 + 6 = 4 + 2a + 6 = 10 + 2a $

Or $ g(2) = 4 $, donc :
$ 10 + 2a = 4 $
$ 2a = -6 $
$ a = -3 $

On obtient $ a = -3 $, et la fonction est $ g(x) = x^2 - 3x + 6 $.
On remplace $ x $ par chaque valeur dans $ g(x) = x^2 - 3x + 6 $ :

$ g(-3) = (-3)^2 - 3 \times (-3) + 6 = 9 + 9 + 6 = 24 $
$ g(-2) = (-2)^2 - 3 \times (-2) + 6 = 4 + 6 + 6 = 16 $
$ g(-1) = (-1)^2 - 3 \times (-1) + 6 = 1 + 3 + 6 = 10 $
$ g(0) = 0 - 0 + 6 = 6 $
$ g(1) = 1 - 3 + 6 = 4 $
$ g(2) = 4 - 6 + 6 = 4 $
$ g(3) = 9 - 9 + 6 = 6 $

$ x $ $ -3 $ $ -2 $ $ -1 $ $ 0 $ $ 1 $ $ 2 $ $ 3 $

$ g(x) $ $ 24 $ $ 16 $ $ 10 $ $ 6 $ $ 4 $ $ 4 $ $ 6 $
On cherche les valeurs de $ x $ telles que $ g(x) = 6 $ :
$ x^2 - 3x + 6 = 6 $
$ x^2 - 3x = 0 $
$ x(x - 3) = 0 $

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, donc :
$ x = 0 $ ou $ x - 3 = 0 $, c'est-à-dire $ x = 3 $.

Le nombre $ 6 $ admet deux antécédents par $ g $ : $ 0 $ et $ 3 $.

On peut vérifier dans le tableau : $ g(0) = 6 $ et $ g(3) = 6 $.
On calcule $ g(4) $ :
$ g(4) = 4^2 - 3 \times 4 + 6 = 16 - 12 + 6 = 10 $

L'ordonnée du point $ D $ est bien $ 10 $, et $ g(4) = 10 $, donc le point $ D(4 ; 10) $ appartient à la courbe représentative de $ g $.

Pour réviser : Dresser un tableau de valeurs et vérifier si un point appartient à une courbe

$ x $	$ -3 $	$ -2 $	$ -1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 2 $	$ 3 $
$ g(x) $	$ 24 $	$ 16 $	$ 10 $	$ 6 $	$ 4 $	$ 4 $	$ 6 $