Exercice 4 (5 points)

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans une région, on s'intéresse à la cohabitation de deux espèces animales : les campagnols et les renards, les renards étant les prédateurs des campagnols.

Au 1$^{\text{er}}$ juillet 2012, on estime qu'il y a dans cette région approximativement deux millions de campagnols et cent-vingt renards.

On note $u_n$ le nombre de campagnols et $v_n$ le nombre de renards au 1\up{er} juillet de l'année $2012+ n$.

On modélise l'évolution des populations par les relations suivantes :

pour tout entier $n \geqslant 0$, avec $u_0 = 2~000~000$ et $v_0 = 120$.

1. 1. On considère la matrice colonne $U_n = \begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}$ pour tout entier $n \geqslant 0$.

      Déterminer la matrice $A$ telle que $U_{n+1} = A \times U_n$ pour tout entier $n$ et donner la matrice $U_0$.

   2. Calculer le nombre de campagnols et de renards estimés grâce à ce modèle au 1\up{er} juillet 2018.

2. Soit les matrices $P = \begin{pmatrix}20~000&5~000\\1&1\end{pmatrix}$,  $D = \begin{pmatrix}1&0\\0&0,7\end{pmatrix}$ et $P^{ - 1} = \dfrac{1}{15~000}\begin{pmatrix}1& - 5~000\\ - 1&20~000\end{pmatrix}$.

   On admet que $P^{ - 1}$ est la matrice inverse de la matrice $P$ et que $A = P \times D \times P^{ - 1}$.

   1. Montrer que pour tout entier naturel $n$,  $U_n = P \times D^n \times P^{ - 1} \times U_0$.

   2. Donner sans justification l'expression de la matrice $D^n$ en fonction de $n$.

   3. On admet que, pour tout entier naturel $n$ :

      $\left\{\begin{array}{l} u_n = \dfrac{2,8 \times 10^7 + 2 \times 10^6 \times 0,7^n}{15}\\ \\ v_n =\dfrac{1~400 + 400 \times 0,7^n}{15}\\ \end{array}\right.$

      Décrire l'évolution des deux populations.

Dans la réalité, on observe que si le nombre de renards a suffisamment baissé, alors le nombre de campagnols augmente à nouveau, ce qui n'est pas le cas avec le modèle précédent.

On construit donc un autre modèle, plus précis, qui tient compte de ce type d'observations à l'aide des relations suivantes :

pour tout entier $n \geqslant 0$, avec $u_0 = 2~000~000$ et $v_0 = 120$.

Le tableau ci-dessous présente ce nouveau modèle sur les $25$ premières années en donnant les effectifs des populations arrondis à l'unité :

1. Quelles formules faut-il écrire dans les cellules B4 et C4 et recopier vers le bas pour remplir les colonnes B et C ?

2. Avec le deuxième modèle, à partir de quelle année observe-t-on le phénomène décrit (baisse des renards et hausse des campagnols) ?

Dans cette partie on utilise le modèle de la partie B.

Est-il possible de donner à $u_0$ et $v_0$ des valeurs afin que les deux populations restent stables d'une année sur l'autre, c'est-à-dire telles que pour tout entier naturel $n$ on ait $u_{n+1} = u_n$ et $v_{n+1} = v_n$ ? (On parle alors d'état stable.)