Exercice 1 (6 points)

Commun à tous les candidats

On étudie certaines caractéristiques d'un supermarché d'une petite ville.

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,2$.

On rappelle que l'espérance de la variable aléatoire $X$, notée $E(X)$, est égale à :

Le but de cette partie est de démontrer que $E(X) = 5$.

1. On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~:~+\infty[$ par $g(t) = 0,2t\text{e}^{ - 0,2t}$.

   On définit la fonction $G$ sur l'intervalle $[0~:~+\infty[$ par $G(t) = ( - t - 5)\text{e}^{ - 0,2t}$.

   Vérifier que $G$ est une primitive de $g$ sur l'intervalle $[0~:~+\infty[$.

2. En déduire que la valeur exacte de $E(X)$ est 5.

   Indication : on pourra utiliser, sans le démontrer, le résultat suivant  :

   $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x \text{e}^{ - 0,2x} = 0.$

Une étude commandée par le gérant du supermarché permet de modéliser la durée, exprimée en minutes, passée dans le supermarché par un client choisi au hasard par une variable aléatoire $T$.

Cette variable $T$ suit une loi normale d'espérance $40$ minutes et d'écart type un réel positif noté $\sigma$.

Grâce à cette étude, on estime que $P(T < 10) = 0,067$.

1. Déterminer une valeur arrondie du réel $\sigma$ à la seconde près.

2. Dans cette question, on prend $\sigma = 20$ minutes. Quelle est alors la proportion de clients qui passent plus d'une heure dans le supermarché ?

Ce supermarché laisse le choix au client d'utiliser seul des bornes automatiques de paiement ou bien de passer par une caisse gérée par un opérateur.

1. La durée d'attente à une borne automatique, exprimée en minutes, est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,2$ min$^{ - 1}$.

   1. Donner la durée moyenne d'attente d'un client à une borne automatique de paiement.

   2. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{ - 3}$, que la durée d'attente d'un client à une borne automatique de paiement soit supérieure à $10$ minutes.

2. L'étude commandée par le gérant conduit à la modélisation suivante :

   • parmi les clients ayant choisi de passer à une borne automatique, 86 % attendent moins de $10$ minutes :

   • parmi les clients passant en caisse, 63 % attendent moins de $10$ minutes.

   On choisit un client du magasin au hasard et on définit les événements suivants :

   $B$ : « le client paye à une borne automatique » :

   $\overline{B}$ : « le client paye à une caisse avec opérateur » :

   $S$ : « la durée d'attente du client lors du paiement est inférieure à $10$ minutes ».

   Une attente supérieure à dix minutes à une caisse avec opérateur ou à une borne automatique engendre chez le client une perception négative du magasin. Le gérant souhaite que plus de 75 % des clients attendent moins de $10$ minutes.

   Quelle est la proportion minimale de clients qui doivent choisir une borne automatique de paiement pour que cet objectif soit atteint ?

Lors du paiement, des cartes à gratter, gagnantes ou perdantes, sont distribuées aux clients. Le nombre de cartes distribuées dépend du montant des achats. Chaque client a droit à une carte à gratter par tranche de $10$ € d'achats.

Par exemple, si le montant des achats est 58,64 €, alors le client obtient $5$ cartes : si le montant est 124,31 €, le client obtient $12$ cartes.

Les cartes gagnantes représentent $0,5$ % de l'ensemble du stock de cartes. De plus, ce stock est suffisamment grand pour assimiler la distribution d'une carte à un tirage avec remise.

1. Un client effectue des achats pour un montant de 158,02 €.

   Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{ - 2}$, qu'il obtienne au moins une carte gagnante ?

2. À partir de quel montant d'achats, arrondi à 10 €, la probabilité d'obtenir au moins une carte gagnante est-elle supérieure à 50 % ?