Exercice 4 (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Les deux graphiques donnés en annexe seront à compléter et à rendre avec la copie

Un scooter radio commandé se déplace en ligne droite à la vitesse constante de 1 m.s$^{ - 1}$. Il est poursuivi par un chien qui se déplace à la même vitesse.

On représente la situation vue de dessus dans un repère orthonormé du plan d'unité 1 mètre. L'origine de ce repère est la position initiale du chien. Le scooter est représenté par un point appartenant à la droite d'équation $x = 5$. Il se déplace sur cette droite dans le sens des ordonnées croissantes.

Dans la suite de l'exercice, on étudie deux modélisations différentes de la trajectoire du chien.

La situation est représentée par le graphique n° 1 donné en annexe.

À l'instant initial, le scooter est représenté par le point $S_0$. Le chien qui le poursuit est représenté par le point $M_0$. On considère qu'à chaque seconde, le chien s'oriente instantanément en direction du scooter et se déplace en ligne droite sur une distance de 1 mètre.

Ainsi, à l'instant initial, le chien s'oriente en direction du point $S_0$, et une seconde plus tard il se trouve un mètre plus loin au point $M_1$. À cet instant, le scooter est au point $S_1$. Le chien s'oriente en direction de $S_1$ et se déplace en ligne droite en parcourant 1 mètre, et ainsi de suite.

On modélise alors les trajectoires du chien et du scooter par deux suites de points notées $\left(M_n\right)$ et $\left(S_n\right)$.

Au bout de $n$ secondes, les coordonnées du point $S_n$ sont $(5~:~n)$. On note $\left(x_n~:~y_n\right)$ les coordonnées du point $M_n$.

1. Construire sur le graphique n° 1 donné en annexe les points $M_2$ et $M_3$.

2. On note $d_n$ la distance entre le chien et le scooter $n$ secondes après le début de la poursuite.

   On a donc $d_n = M_nS_n$.

   Calculer $d_0$ et $d_1$.

3. Justifier que le point $M_2$ a pour coordonnées $\left(1 + \dfrac{4}{\sqrt{17}}~:~\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right)$.

4. On admet que, pour tout entier naturel $n$ :

   $\left\{\begin{array}{l c l} x_{n+1}& = &x_n + \dfrac{5 - x_n}{d_n}\\ y_{n+1}&=&y_n + \dfrac{n - y_n}{d_n} \end{array}\right.$

   1. Le tableau ci-dessous, obtenu à l'aide d'un tableur, donne les coordonnées des points $M_n$ et $S_n$ ainsi que la distance $d_n$ en fonction de $n$. Quelles formules doit-on écrire dans les cellules C5 et F5 et recopier vers le bas pour remplir les colonnes C et F ?

      

   2. On admet que la suite $\left(d_n\right)$ est strictement décroissante.

      Justifier que cette suite est convergente et conjecturer sa limite à l'aide du tableau.

On modélise maintenant la trajectoire du chien à l'aide de la courbe $\mathscr{F}$ de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 : 5[ par :

Cela signifie que le chien se déplace sur la courbe $\mathscr{F}$ de la fonction $f$.

1. Lorsque le chien se trouve au point $M$ de coordonnées $(x~:~f(x))$ de la courbe $\mathscr{F}$, où $x$ appartient à l'intervalle [0 : 5[, le scooter se trouve au point $S$, d'ordonnée notée $y_S$. Ainsi le point $S$ a pour coordonnées $\left(5~:~y_S\right)$. La tangente à la courbe $\mathscr{F}$ au point $M$ passe par le point $S$. Cela traduit le fait que le chien s'oriente toujours en direction du scooter. On note $d(x)$ la distance $MS$ entre le chien et le scooter lorsque $M$ a pour abscisse $x$.

   1. Sur le graphique n° 2 donné en annexe, construire, sans calcul, le point $S$ donnant la position du scooter lorsque le chien se trouve au point d'abscisse 3 de la courbe $\mathscr{F}$ et lire les coordonnées du point $S$.

   2. On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 : 5[ et on admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 : 5[ :

      $f^{\prime}(x) = \dfrac{x(1 - 0,1x)}{5 - x}.$

      Déterminer par le calcul une valeur approchée au centième de l'ordonnée du point $S$ lorsque le chien se trouve au point d'abscisse 3 de la courbe $\mathscr{F}$.

2. On admet que $d(x) = 0,1x^2 - x + 5$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 : 5[.

   Justifier qu'au cours du temps la distance $MS$ se rapproche d'une valeur limite que l'on déterminera.

Annexe

À rendre avec la copie

Partie A - question 1

Graphique n° 1

Partie B - question 1

Graphique n° 2