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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonctions - Bac S Amérique du Nord 2018

Exercice 2 (4 points)

Commun à tous les candidats

Lors d'une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L'objectif est de déterminer pour quel angle de tir θ\theta par rapport à l'horizontale la hauteur du projectile ne dépasse pas 1,61,6 mètre.

Comme le projectile ne se déplace pas dans l'air mais dans un fluide, le modèle parabolique usuel n'est pas adopté.

On modélise ici le projectile par un point qui se déplace, dans un plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction ff définie sur l'intervalle [0 : 1[ par :

f(x)=bx+2ln(1x)f(x) = bx + 2\ln (1 - x)

bb est un paramètre réel supérieur ou égal à 22, xx est l'abscisse du projectile, f(x)f(x) son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètres.

  1. La fonction ff est dérivable sur l'intervalle [0 : 1[. On note ff^{\prime} sa fonction dérivée.

    On admet que la fonction ff possède un maximum sur l'intervalle [0 : 1[ et que, pour tout réel xx de l'intervalle [0 : 1[ :

    f(x)=bx+b21x.f^{\prime}(x) = \dfrac{ - bx + b - 2}{1 - x}.

    Montrer que le maximum de la fonction ff est égal à b2+2ln(2b)b - 2 + 2\ln \left(\dfrac{2}{b}\right).

  2. Déterminer pour quelles valeurs du paramètre bb la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas 1,61,6 mètre.

  3. Dans cette question, on choisit b=5,69b = 5,69.

    L'angle de tir θ\theta correspond à l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe de la fonction ff au point d'abscisse 00 comme indiqué sur le schéma donné ci-dessus.

    Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle θ\theta.