EXERCICE 5 (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :

• Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est $\dfrac{1}{4}$ ;

• Si le joueur perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est $\dfrac{1}{2}$ ;

• La probabilité de gagner la première partie est $\dfrac{1}{4}$ .

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $G_n$ l'événement « la $n^{\text{e}}$ partie est gagnée » et on note $p_n$ la probabilité de cet événement. On a donc $p_1 = \dfrac{1}{4}$.

1. Montrer que $p_2 = \dfrac{7}{16}$.

2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = - \dfrac{1}{4}p_n + \dfrac{1}{2}$.

3. On obtient ainsi les premières valeurs de $p_n$ :

   

   Quelle conjecture peut -on émettre ?

4. On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = p_n - \dfrac{2}{5}$.

   1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.

   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_n = \dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{20}\left( - \dfrac{1}{4}\right)^{n - 1}$.

   3. La suite $\left(p_n\right)$ converge-t-elle ? Interpréter ce résultat.