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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Géométrie dans l'espace – Bac S Liban 2018

EXERCICE 3 (4 points)

Commun à tous les candidats

L'objectif de cet exercice est d'étudier les trajectoires de deux sous-marins en phase de plongée.

On considère que ces sous-marins se déplacent en ligne droite, chacun à vitesse constante.

À chaque instant tt, exprimé en minutes, le premier sous-marin est repéré par le point S1(t)S_1(t) et le second sous-marin est repéré par le point S2(t)S_2(t) dans un repère orthonormé (O ; i, j, k)\left(\text{O}~;~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right) dont l'unité est le mètre.

Le plan défini par (O ; i, j)\left(\text{O}~;~\vec{i},~\vec{j}\right) représente la surface de la mer. La cote zz est nulle au niveau de la mer, négative sous l'eau.

  1. On admet que, pour tout réel t0t \geqslant 0, le point S1(t)S_1(t) a pour coordonnées:

    {x(t)=14060ty(t)=10590tz(t)=17030t\begin{cases} x(t) = \phantom{ - }140 - 60t\\ y(t) = \phantom{ - }105 - 90t\\ z(t) = - 170 - 30 t \end{cases}

    1. Donner les coordonnées du sous- marin au début de l'observation.

    2. Quelle est la vitesse du sous-marin ?

    3. On se place dans le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin.

      Déterminer l'angle α\alpha que forme la trajectoire du sous-marin avec le plan horizontal.
      On donnera l'arrondi de α\alpha à 0,10,1 degré près.

  2. Au début de l'observation, le second sous-marin est situé au point S2(0)S_2(0) de coordonnées (68 ; 135 ; 68)(68~;~135~;~ - 68) et atteint au bout de trois minutes le point S2(3)S_2(3) de coordonnées (202 ; 405 ; 248)( - 202~;~ - 405~;~ - 248) avec une vitesse constante.

    À quel instant tt, exprimé en minutes, les deux sous-marins sont-ils à la même profondeur ?