EXERCICE 5 (5 points)

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On définit la suite de réels $\left(a_n\right)$ par :

On appelle cette suite la suite de Fibonacci.

1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'à la fin de son exécution la variable $A$ contienne le terme $a_n$.

   

   On obtient ainsi les premières valeurs de la suite $a_n$ :

   

2. Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$.

   Calculer $A^2$, $A^3$ et $A^4$.

   Vérifier que $A^5 = \begin{pmatrix}8&5\\5&3\end{pmatrix}$.

3. On peut démontrer, et nous admettrons, que pour tout entier naturel $n$ non nul,

   $A^n = \begin{pmatrix}a_{n+1}&a_n\\a_n&a_{n - 1}\end{pmatrix}.$

   1. Soit $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls. Calculer le produit $A^p \times A^q$ et en déduire que

      $a_{p+q} = a_p \times a_{q+1} + a_{p - 1} \times a_q.$

   2. En déduire que si un entier $r$ divise les entiers $a_p$ et $a_q$, alors $r$ divise également $a_{p+q}$.

   3. Soit $p$ un entier naturel non nul.

      Démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence sur $n$, que pour tout entier naturel $n$ non nul, $a_p$ divise $a_{np}$.

4. 1. Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 5. Montrer que si $n$ est un entier naturel qui n'est pas premier, alors $a_n$ n'est pas un nombre premier.

   2. On peut calculer $a_{19} = 4~181 = 37 \times 113$.

      Que penser de la réciproque de la propriété obtenue dans la question 4. a. ?