Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,8u_n + 18$, par conséquent : $u_1 = 0,8 u_0 + 18 = 0,8\times 65 + 18 = 70$
$u_2 = 0,8 u_1 + 18 = 0,8\times 70 + 18 = 74$

1. Pour tout entier naturel $n$ :

   $v_{n+1}=u_{n+1} - 90$
   $\phantom{v_{n+1}}=0,8 u_n + 18 - 90$
   $\phantom{v_{n+1}}=0,8u_n - 72$.

   Or $v_n = u_n - 90$ ; donc $u_n=v_n+90$ ; alors :

   $v_{n+1}=0,8 \left ( v_n+90\right ) - 72$
   $\phantom{v_{n+1}}=0,8 v_n + 72 - 72$
   $\phantom{v_{n+1}}=0,8v_n$.

   De plus $v_0=u_0 - 90 = 65 - 90 = - 25$ ; par conséquent, la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme ${v_0= - 25}$ et de raison ${q=0,8}$.

2. On en déduit que :

   $v_n=v_0q^n= - 25 \times 0,8^n$.

   Et comme $u_n=v_n+90$, pour tout entier naturel $n$ : $u_n=90 - 25\times 0,8^{n}$.

1. On souhaite déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \geqslant 85$.

   Pour cela, on doit rester dans la boucle « Tant que » aussi longtemps que $u_n$ est strictement inférieur à 85.

   On doit donc compléter l'algorithme comme suit :

   

2. On peut programmer l'algorithme sur sa calculatrice ou plus simplement utiliser le menu « Suite » de la calculatrice (ou même le menu « Fonction » en entrant la fonction $Y_1= 90 - 25 \times 0,8\hat~X$ et un pas de 1) de façon à calculer les premiers termes de la suite.

   On trouve alors :

   $u_ 7 ~= 84,8$
   

   et $u_8 ~= 85,8$
   

   À la fin de l'exécution de l'algorithme, la variable $n$ contiendra donc la valeur 8.

3. $u_n \geqslant 85 \Leftrightarrow 90 - 25\times 0,8^{n} \geqslant 85$
   $\phantom{u_n \geqslant 85 } \Leftrightarrow - 25\times 0,8^{n} \geqslant - 5$
   $\phantom{u_n \geqslant 85 } \Leftrightarrow 25\times 0,8^{n} \leqslant 5$
   $\phantom{u_n \geqslant 85 }\Leftrightarrow 0,8^{n} \leqslant \dfrac{5}{25}$
   $\phantom{u_n \geqslant 85 }\Leftrightarrow 0,8^{n} \leqslant 0,2$
   

   Comme la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$, on peut appliquer, à chaque membre, la fonction $\ln$ :
   

   $u_n \geqslant 85 \Leftrightarrow \ln \left ( 0,8^{n} \right )\leqslant \ln 0,2$
   $\phantom{u_n \geqslant 85}\Leftrightarrow n \times \ln 0,8 \leqslant \ln 0,2$
   

   On divise chaque membre par $\ln 0,8$ qui est strictement négatif ; il faut donc changer le sens de l'inégalité :

   $u_n \geqslant 85 \Leftrightarrow n \geqslant \dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8}$

   Or $\dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8} \approx 7,21$ ; le plus petit entier $n$ vérifiant l'inégalité est donc bien $n=8$.

1. Notons $a_n$ le nombre d'abonnés au panier bio le $n$-ième mois qui suit le mois de juillet 2017.

   En juillet 2017, 65 particuliers avaient souscrit l'abonnement, donc $a_0=65$.

   Une diminution de 20% correspond à un coefficient multiplicateur de ${1 - \dfrac{20}{100}=0,8}$ ; on ajoute ensuite les 18 nouveaux abonnés.

   On a donc :

   $a_{n+1}=0,8a_n+60.$

   Les suites $(u_n)$ et $(a_n)$ sont définies par la même relation de récurrence et le même premier terme ; elles sont donc identiques.

   La suite $\left(u_n\right)$ permet donc bien de modéliser le nombre d'abonnés au panier bio le $n$-ième mois qui suit le mois de juillet 2017.

2. Puisque le prix d'un abonnement est $52$ € par mois, la recette mensuelle pour le mois $n$ est $52 u_n$ euros.

   On cherche donc à résoudre l'inéquation $52 u_n > 4~420$. Or :

   $52 u_n > 4~420 \Leftrightarrow u_n > \dfrac{4~420}{52} \Leftrightarrow u_n > 85$.

   Et d'après la question 3 ceci produit pour $n=8$ soit 8 mois après le mois de juillet 2017 c'est à dire en mars 2018.

   La recette mensuelle dépassera donc 4 420 € durant l'année 2018.

3. La suite $(v_n)$ est une géométrique de raison $q=0,8$. Comme $0<0,8<1$, la suite $(v_n)$ converge vers 0.

   Or, pour tout entier naturel $n$, $u_n=v_n+90$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n=90$.

   Au cours du temps le nombre d'abonnés se rapprochera de $90$.

   La recette mensuelle de la société Biocagette tendra donc vers $52 \times 90= 4~680$ €.