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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonctions – Bac ES/L Pondichéry 2018

Exercice 4 (5 points)

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, si nécessaire, les valeurs numériques approchées seront données à 0,01 près.

On considère la fonction ff définie sur l'intervalle [0 ; 4] par :

f(x)=(3,6x+2,4)e0,6x1,4.f(x) = (3,6x + 2,4)\text{e}^{ - 0,6x} - 1,4.

Partie A

On admet que la fonction ff est dérivable sur l'intervalle [0 ; 4] et on note ff^{\prime} sa fonction dérivée.

  1. Justifier que pour tout nombre réel xx de l'intervalle [0 ; 4] on a :

    f(x)=(2,16x+2,16)e0,6x.f^{\prime}(x) = ( - 2,16 x + 2,16)\text{e}^{ - 0,6x}.

    1. Étudier le signe de f(x)f^{\prime}(x) sur l'intervalle [0 ; 4].

    2. Dresser le tableau de variation de la fonction ff sur cet intervalle.

      On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variation sous forme approchée.

  2. On admet que la fonction FF définie par :

    F(x)=(6x14)e0,6x1,4xF(x) = ( - 6x - 14)\text{e}^{ - 0,6x} - 1,4x

    est une primitive de la fonction ff sur l'intervalle [0 ; 4].

    Calculer la valeur exacte de 04f(x)dx\displaystyle\int_0^4 f(x)\:\text{d}x puis en donner une valeur numérique approchée.

Partie B

On note Cf\mathscr{C}_f la courbe représentative de la fonction ff sur l'intervalle [0 ; 4].

On considère la fonction gg définie par :

g(x)=4x24x+1.g(x) = 4x^2 - 4x + 1.

On note Cg\mathscr{C}_g la courbe représentative de cette fonction sur l'intervalle [0 ; 0,5].

On a tracé ci-dessous les courbes Cf\mathscr{C}_f et Cg\mathscr{C}_g dans un repère d'origine O et, en pointillés, les courbes obtenues par symétrie de Cf\mathscr{C}_f et Cg\mathscr{C}_g par rapport à l'axe des abscisses :

  1. Montrer que 00,5g(x)dx=16\displaystyle\int_0^{0,5}g(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{6}.

  2. On considère le domaine plan délimité par les courbes Cf\mathscr{C}_f,  Cg\mathscr{C}_g, leurs courbes symétriques (en pointillés) ainsi que la droite d'équation x=4x = 4.

    Ce domaine apparaît coloré sur la figure ci-dessus.

    Calculer une valeur approchée de l'aire, en unités d'aire, de ce domaine.