Exercice 4 (5 points)

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, si nécessaire, les valeurs numériques approchées seront données à 0,01 près.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 4] par :

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0 ; 4] et on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.

1. Justifier que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0 ; 4] on a :

   $f^{\prime}(x) = ( - 2,16 x + 2,16)\text{e}^{ - 0,6x}.$

2. 1. Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ sur l'intervalle [0 ; 4].

   2. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur cet intervalle.

      On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variation sous forme approchée.

3. On admet que la fonction $F$ définie par :

   $F(x) = ( - 6x - 14)\text{e}^{ - 0,6x} - 1,4x$

   est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 4].

   Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_0^4 f(x)\:\text{d}x$ puis en donner une valeur numérique approchée.

On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 4].

On considère la fonction $g$ définie par :

On note $\mathscr{C}_g$ la courbe représentative de cette fonction sur l'intervalle [0 ; 0,5].

On a tracé ci-dessous les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ dans un repère d'origine O et, en pointillés, les courbes obtenues par symétrie de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ par rapport à l'axe des abscisses :

1. Montrer que $\displaystyle\int_0^{0,5}g(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{6}$.

2. On considère le domaine plan délimité par les courbes $\mathscr{C}_f$,  $\mathscr{C}_g$, leurs courbes symétriques (en pointillés) ainsi que la droite d'équation $x = 4$.

   Ce domaine apparaît coloré sur la figure ci-dessus.

   Calculer une valeur approchée de l'aire, en unités d'aire, de ce domaine.