Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats numériques seront donnés, si nécessaire, sous forme approchée à 0,01 près.

Un commerçant dispose dans sa boutique d'un terminal qui permet à ses clients, s'ils souhaitent régler leurs achats par carte bancaire, d'utiliser celle-ci en mode sans contact (quand le montant de la transaction est inférieur ou égal à 30 €) ou bien en mode code secret (quel que soit le montant de la transaction).

Il remarque que :

• 80 % de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à 30 €. Parmi eux :

  • 40 % paient en espèces ;

  • 40 % paient avec une carte bancaire en mode sans contact ;

  • les autres paient avec une carte bancaire en mode code secret.

• 20 % de ses clients règlent des sommes strictement supérieures à 30 €. Parmi eux :

  • 70 % paient avec une carte bancaire en mode code secret ;

  • les autres paient en espèces.

On interroge au hasard un client qui vient de régler un achat dans la boutique.

On considère les événements suivants :

• $V$ : « pour son achat, le client a réglé un montant inférieur ou égal à 30 € » ;

• $E$ : « pour son achat, le client a réglé en espèces » ;

• $C$ : « pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode code secret » ;

• $S$ : « pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode sans contact ».

1. 1. Donner la probabilité de l'événement $V$, notée $P(V)$, ainsi que la probabilité de $S$ sachant $V$ notée $P_V(S)$.

   2. Traduire la situation de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

2. 1. Calculer la probabilité que pour son achat, le client ait réglé un montant inférieur ou égal à 30 € et qu'il ait utilisé sa carte bancaire en mode sans contact.

   2. Montrer que la probabilité de l'événement : « pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en utilisant l'un des deux modes » est égale à $0,62$.

On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur la dépense en euros d'un client suite à un achat chez ce commerçant.

On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $27,5$ et d'écart-type $3$.

On interroge au hasard un client qui vient d'effectuer un achat dans la boutique.

1. Calculer la probabilité que ce client ait dépensé moins de 30 €.

2. Calculer la probabilité que ce client ait dépensé entre 24,50 € et 30,50 €.

Une enquête de satisfaction a été réalisée auprès d'un échantillon de $200$ clients de cette boutique.

Parmi eux, 175 trouvent que le dispositif sans contact du terminal est pratique.

Déterminer, avec un niveau de confiance de $0,95$, l'intervalle de confiance de la proportion $p$ de clients qui trouvent que le dispositif sans contact est pratique.