Exercice 3 (5 points)

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Le graphe pondéré ci-dessous représente les différents lieux A, B, C, D, E, F, G et H dans lesquels Louis est susceptible de se rendre chaque jour. Le lieu A désigne son domicile et G le lieu de son site de travail.

Le poids de chaque arête représente la distance, en kilomètres, entre les deux lieux reliés par l'arête.

Déterminer le chemin le plus court qui permet à Louis de relier son domicile à son travail. On pourra utiliser un algorithme. Préciser la distance, en kilomètres, de ce chemin.

Afin de réduire son empreinte énergétique, Louis décide d'utiliser lors de ses trajets quotidiens soit les transports en commun, soit le covoiturage.

• s'il a utilisé les transports en commun lors d'un trajet, il utilisera le covoiturage lors de son prochain déplacement avec une probabilité de $0,53$ ;

• s'il a utilisé le covoiturage lors d'un trajet, il effectuera le prochain déplacement en transport en commun avec une probabilité de $0,78$.

Louis décide de mettre en place ces résolutions au 1$^{\text{er}}$ janvier 2018.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

• $c_n$ la probabilité que Louis utilise le covoiturage $n$ jour(s) après le 1$^{\text{er}}$ janvier 2018 ;

• $t_n$ la probabilité que Louis utilise les transports en commun $n$ jour(s) après le 1$^{\text{er}}$ janvier 2018 ;

La matrice ligne $P_n = \left(c_n \quad t_n\right)$ traduit l'état probabiliste $n$ jour(s) après le 1$^{\text{er}}$ janvier 2018.

Le 1$^{\text{er}}$ janvier 2018, Louis décide d'utiliser le covoiturage.

1. 1. Préciser l'état probabiliste initial $P_0$.

   2. Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste. On notera « C » et « T » ses deux sommets :

      • « C » pour indiquer que Louis utilise le covoiturage ;

      • « T » pour indiquer que Louis utilise les transports en commun.

2. Déterminer la matrice de transition du graphe probabiliste en considérant ses sommets dans l'ordre alphabétique.

3. Calculer l'état probabiliste $P_2$ et interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.

4. Soit la matrice ligne $P = (x \quad y)$ associée à l'état stable du graphe probabiliste.

   1. Calculer les valeurs exactes de $x$ et de $y$ puis en donner une valeur approchée à $0,01$ près.

   2. Selon ce modèle, peut-on dire qu'à long terme, Louis utilisera aussi souvent le covoiturage que les transports en commun ? Justifier la réponse.