Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites - Bac ES/L Métropole 2018

Exercice 3 (5 points)

Candidats de ES n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité et candidats de L

Un lac de montagne est alimenté par une rivière et régulé par un barrage, situé en aval, d'une hauteur de 10 m.

On mesure le niveau de l'eau chaque jour à midi.

Le 1er{^\text{er}} janvier 2018, à midi, le niveau du lac était de 6,056,05 m.

Entre deux mesures successives, le niveau d'eau du lac évolue de la façon suivante :

  1. On modélise l'évolution du niveau d'eau du lac par une suite (un)nN(u_n)_{n\in \mathbb{N}}, le terme unu_n représentant le niveau d'eau du lac à midi, en cm, nn jours après le 1er{^\text{er}} janvier 2018.

    Ainsi le niveau d'eau du lac, en cm, le 1er{^\text{er}} janvier 2018 est donné par u0=605u_0=605.

    1. Calculer le niveau du lac, en cm, le 2 janvier 2018 à midi.

    2. Montrer que, pour tout nNn\in\mathbb{N}, un+1=1,06un15u_{n+1}=1,06 u_n - 15.

  2. On pose, pour tout nNn\in \mathbb{N}, vn=un250v_n=u_n - 250.

    1. Montrer que la suite (vn)(v_n) est géométrique de raison 1,061,06.

      Préciser son terme initial.

    2. Montrer que, pour tout nNn\in\mathbb{N}, un=355×1,06n+250u_n=355\times 1,06^{n}+250.

  3. Lorsque le niveau du lac dépasse 10 m, l'équipe d'entretien doit agrandir l'ouverture des vannes du barrage.

    1. Déterminer la limite de la suite (un)(u_n).

    2. L'équipe d'entretien devra-t-elle ouvrir les vannes afin de réguler le niveau d'eau ? Justifier la réponse.

  4. Afin de déterminer la première date d'intervention des techniciens, on souhaite utiliser l'algorithme incomplet ci-dessous.

    1. Recopier et compléter l'algorithme.

    2. À la fin de l'exécution de l'algorithme, que contient la variable NN ?

    3. En déduire la première date d'intervention des techniciens sur les vannes du barrage.