Exercice 3 (5 points)

Candidats de ES n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité et candidats de L

Un lac de montagne est alimenté par une rivière et régulé par un barrage, situé en aval, d'une hauteur de 10 m.

On mesure le niveau de l'eau chaque jour à midi.

Le 1${^\text{er}}$ janvier 2018, à midi, le niveau du lac était de $6,05$ m.

Entre deux mesures successives, le niveau d'eau du lac évolue de la façon suivante :

• d'abord une augmentation de 6 % (apport de la rivière) ;

• ensuite une baisse de 15 cm (écoulement à travers le barrage).

1. On modélise l'évolution du niveau d'eau du lac par une suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$, le terme $u_n$ représentant le niveau d'eau du lac à midi, en cm, $n$ jours après le 1${^\text{er}}$ janvier 2018.

   Ainsi le niveau d'eau du lac, en cm, le 1${^\text{er}}$ janvier 2018 est donné par $u_0=605$.

   1. Calculer le niveau du lac, en cm, le 2 janvier 2018 à midi.

   2. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=1,06 u_n - 15$.

2. On pose, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_n=u_n - 250$.

   1. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $1,06$.

      Préciser son terme initial.

   2. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=355\times 1,06^{n}+250$.

3. Lorsque le niveau du lac dépasse 10 m, l'équipe d'entretien doit agrandir l'ouverture des vannes du barrage.

   1. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

   2. L'équipe d'entretien devra-t-elle ouvrir les vannes afin de réguler le niveau d'eau ? Justifier la réponse.

4. Afin de déterminer la première date d'intervention des techniciens, on souhaite utiliser l'algorithme incomplet ci-dessous.

   

   1. Recopier et compléter l'algorithme.

   2. À la fin de l'exécution de l'algorithme, que contient la variable $N$ ?

   3. En déduire la première date d'intervention des techniciens sur les vannes du barrage.