Exercice 4 (6 points)

Commun à tous les candidats

On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[ - 2~;~4]$ par

On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans une repère. Une représentation graphique est donnée en annexe.

1. On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que, pour tout $x\in [ - 2~;~4]$,

   $f^{\prime}(x)= - 4x\text{e}^{ - 2x}.$

2. Étudier les variations de $f$.

3. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $[ - 2~;~0]$ et donner une valeur approchée au dixième de cette solution.

4. On note $f^{\prime \prime}$ la fonction dérivée de $f^{\prime}$. On admet que, pour tout $x\in [ - 2~;~4]$,

   $f^{\prime \prime}(x)=(8x - 4)\text{e}^{ - 2x}.$

   1. Étudier le signe de $f^{\prime \prime}$ sur l'intervalle $[ - 2~;~4]$.

   2. En déduire le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe.

5. On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[ - 2~; 4]$ par $g(x)=(2x+1)\text{e}^{ - 2x}$.

   1. Vérifier que la fonction $G$ définie pour tout $x\in [ - 2~;~4]$ par $G(x)=( - x - 1)^{ - 2x}$ est une primitive de la fonction $g$.

   2. En déduire une primitive $F$ de $f$.

6. On note $\mathscr{A}$ l'aire du domaine $\mathscr{D}$ compris entre la courbe $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.

   1. Hachurer le domaine $\mathscr{D}$ sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.

   2. Par lecture graphique, donner un encadrement de $\mathscr{A}$, en unité d'aire, par deux entiers consécutifs.

   3. Calculer la valeur exacte de $\mathscr{A}$, puis une valeur approchée au centième.

Annexe

À rendre avec la copie