Exercice 2 (5 points)

Candidats n'ayant pas choisi la spécialité « mathématiques »

Des algues prolifèrent dans un étang. Pour s'en débarrasser, le propriétaire installe un système de filtration.

En journée, la masse d'algues augmente de 2 %, puis à la nuit tombée, le propriétaire actionne pendant une heure le système de filtration qui retire 1$00$ kg d'algues. On admet que les algues ne prolifèrent pas la nuit.

Le propriétaire estime que la masse d'algues dans l'étang au matin de l'installation du système de filtration est de 2 000 kg.

On modélise par $a_n$ la masse d'algues dans l'étang, exprimée en kg, après utilisation du système de filtration pendant $n$ jours ; ainsi, $a_0 = 2~000$. On admet que cette modélisation demeure valable tant que $a_n$ reste positif.

1. Vérifier par le calcul que la masse $a_2$ d'algues après deux jours de fonctionnement du système de filtration est de 1 878,8 kg.

2. On affirme que pour tout entier naturel $n$,  $a_{n+1} = 1,02a_n - 100$.

   1. Justifier à l'aide de l'énoncé la relation précédente.

   2. On considère la suite $\left(b_n\right)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par :

      $b_n = a_n - 5~000.$

      Démontrer que la suite $\left(b_n\right)$ est géométrique. Préciser son premier terme $b_0$ et sa raison.

   3. En déduire pour tout entier naturel $n$, une expression de $b_n$ en fonction de $n$, puis montrer que $a_n = 5~000 - 3~000 \times 1,02^n$.

   4. En déterminant la limite de la suite $\left(a_n\right)$, justifier que les algues finissent par disparaître.

3. 1. Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il détermine le nombre de jours nécessaire à la disparition des algues.

      

   2. Quel est le résultat renvoyé par l'algorithme ?

4. 1. Résoudre par le calcul l'inéquation $5~000 - 3~000 \times 1,02^n \leqslant 0$.

   2. Quel résultat précédemment obtenu retrouve-t-on ?