Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Une entreprise dispose d'un stock de guirlandes électriques. On sait que 40 % des guirlandes proviennent d'un fournisseur A et le reste d'un fournisseur B.

Un quart des guirlandes provenant du fournisseur A et un tiers des guirlandes provenant du fournisseur B peuvent être utilisées uniquement en intérieur pour des raisons de sécurité. Les autres guirlandes peuvent être utilisées aussi bien en intérieur qu'en extérieur.

1. On choisit au hasard une guirlande dans le stock.

   • On note $A$ l'événement « la guirlande provient du fournisseur A » et $B$ l'événement « la guirlande provient du fournisseur B ».

   • On note $I$ l'événement « la guirlande peut être utilisée uniquement en intérieur ».

   1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

   2. Montrer que la probabilité $P(I)$ de l'événement $I$ est $0,3$.

   3. On choisit une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu'en extérieur. Le responsable de l'entreprise estime qu'il y a autant de chance qu'elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B.

      Le responsable a-t-il raison ? Justifier.

2. Une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu'en extérieur est vendue $5$ € et une guirlande pouvant être utilisée uniquement en intérieur est vendue $3$ €.

   Calculer le prix moyen d'une guirlande prélevée au hasard dans le stock.

3. Lors d'un contrôle qualité, on prélève au hasard $50$ guirlandes dans le stock. Le stock est suffisamment grand pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On admet que la proportion de guirlandes défectueuses est égale à $0,02$.

   Calculer la probabilité qu'au moins une guirlande soit défectueuse. Arrondir le résultat à $10^{ - 3}$.

4. L'entreprise souhaite connaître l'opinion de ses clients quant à la qualité de ses guirlandes électriques. Pour cela elle souhaite obtenir, à partir d'un échantillon aléatoire, une estimation de la proportion de clients satisfaits au niveau de confiance de 95 % à l'aide d'un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou égale à 8 %.

   Combien l'entreprise doit-elle interroger de clients au minimum ?