Graphes probabilistes - Bac ES/L Centres étrangers 2018 (spé)
Exercice 2 (5 points)
Candidats ayant choisi la spécialité « mathématiques »
Une société d'autoroute étudie l'évolution de l'état de ses automates de péage en l'absence de maintenance.
Un automate peut se trouver dans l'un des états suivants :
fonctionnel (F) ;
en sursis (S) s'il fonctionne encore, mais montre des signes de faiblesse ;
défaillant (D) s'il ne fonctionne plus.
La société a observé que d'un jour sur l'autre :
concernant les automates fonctionnels, 90 % le restent et 10 % deviennent en sursis ;
concernant les automates en sursis, 80 % le restent et 20 % deviennent défaillants.
Reproduire et compléter le graphe probabiliste ci-après qui représente les évolutions possibles de l'état d'un automate.
Interpréter le nombre 1 qui apparaît sur ce graphe.
Voici la matrice de transition associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre F, S, D. Préciser la signification du coefficient dans cette matrice.
À compter d'une certaine date, la société relève chaque jour à midi l'état de ses automates. On note ainsi pour tout entier naturel :
la probabilité qu'un automate soit fonctionnelle -ième jour ;
la probabilité qu'un automate soit en sursis le -ième jour ;
la probabilité qu'un automate soit défaillant le -ième jour.
On note alors la matrice ligne de l'état probabiliste le -ième jour. Enfin, la société observe qu'au début de l'expérience tous ses automates sont fonctionnels : on a donc .
Calculer .
Montrer que, le 3\up{e} jour, l'état probabiliste est .
Vérifier que ce graphe possède un unique état stable . Quelle est la signification de ce résultat pour la situation étudiée ?
Justifier que pour tout entier naturel , .
On vérifierait de même que pour tout entier naturel ,
Compléter l'algorithme ci-dessous de sorte qu'il affiche le nombre de jours au bout duquel 30 % des automates ne fonctionnent plus.
Au bout de combien de jours la proportion d'automates défaillants devient-elle supérieure à 30 % ?
Dans le codage de la boucle « Tant que », l'ordre d'affectation des variables , et est-il important ? Justifier.