Exercice 5 (6 points)

Commun à tous les candidats

On considère la fonction dérivable $f$ définie sur $I = [0~;~20]$ par :

Partie A - Étude graphique

On a représenté sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative de la fonction $f$.

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.

1. Résoudre graphiquement et de façon approchée l'équation $f(x) = 3~000$.

2. Donner graphiquement une valeur approchée de l'intégrale de [ entre 2 et 8 à une unité d'aire près. Justifier la démarche.

Partie B - Étude théorique

1. On note $f^{\prime}$ la dérivée de la fonction [sur [0 ; 20].

   Démontrer que pour tout $x$ de [0 ; 20], $f^{\prime}(x) = - 200x\text{e}^{ - 0,2x}$.

2. En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau des variations sur l'intervalle [0 ; 20]. Si nécessaire, arrondir à l'unité les valeurs présentes dans le tableau.

3. Démontrer que l'équation $f(x) = 3~000$ admet une unique solution $\alpha$ sur [0 ; 20], puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{ - 2}$ près à l'aide de la calculatrice.

4. On admet que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0 ; 20] par l'expression

   $F(x) = - 5~000(x + 10)\text{e}^{ - 0,2x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur [0 ; 20].

   Calculer $\displaystyle\int_2^8 f(x)\:\text{d}x$. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à l'unité.

Partie C - Application économique

La fonction de demande d'un produit est modélisée sur l'intervalle [0 ; 20] par la fonction $f$ étudiée dans les parties A et B.

Le nombre $f(x)$ représente la quantité d'objets demandés lorsque le prix unitaire est égal à $x$ euros.

Utiliser les résultats de la partie B afin de répondre aux questions suivantes :

1. En-dessous de quel prix unitaire, arrondi au centime, la demande est-elle supérieure à 3 000 objets ?

2. Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [2 ; 8]. Interpréter ce résultat.