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Les règles de calculs - fractions - puissances Exercices

Simplifications (Brevet 2001)

Durée estimée

15 minutes

Difficulté

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Objectifs travaillés

(Brevet Paris 2001 - À faire sans calculatrice)

Soit :

$ A = \dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{3}\times \dfrac{5}{14} $

$ B = \dfrac{5\times 10^{2000}}{20\times 10^{2001}} $

$ C = \dfrac{5{,}1 \times 10^{2} - 270 \times 10^{ - 1}}{4{,}83 \times 10^{2}} $.

Calculer $ A $ et mettre le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
Calculer $ B $ et donner l'écriture scientifique du résultat.
Démontrer que $ C $ est un nombre entier.

Corrigé

On commence par effectuer le produit (qui est prioritaire) en simplifiant par $ 7 $ :

$ A = \dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{3}\times \dfrac{5}{14} =\dfrac{2}{3} - \dfrac{7\times 5}{3\times 14} =\dfrac{2}{3} - \dfrac{7\times 5}{3\times 2\times 7} =\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6} $

Puis on réduit au même dénominateur :

$ A = \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6}=\dfrac{4}{6} - \dfrac{5}{6} $, soit $\mathbf{A = -\dfrac{1}{6}}$.
On sépare les coefficients et les puissances de 10 :

$ B = \dfrac{5\times 10^{2000}}{20\times 10^{2001}} = \dfrac{5}{20} \times \dfrac{10^{2000}}{10^{2001}} = \dfrac{5}{4\times 5}\times 10^{2000 - 2001}=\dfrac{1}{4}\times 10^{ - 1} $

Or :

$ \dfrac{1}{4}=0{,}25=2{,}5\times 10^{ - 1} $

Donc la forme scientifique de $ B $ est :

$ B=\dfrac{1}{4}\times 10^{ - 1} =2{,}5\times 10^{ - 1}\times 10^{ - 1} $, soit $\mathbf{B = 2{,}5\times 10^{ - 2}}$
On convertit chaque terme en écriture décimale :

Calculons chaque produit :

$ 5{,}1 \times 10^{2}=510 $

$ 270 \times 10^{ - 1}=27 $

$ 4{,}83 \times 10^{2}=483 $

Par conséquent :

$ C = \dfrac{510 - 27}{483}=\dfrac{483}{483} $, soit $\mathbf{C = 1}$