Maths-cours

Cours & exercices de mathématiques

  • Troisième
  • Seconde
  • Première
  • Terminale
  • Tle Complément.
  • Tle Expert
  • Quiz
  • 3ème
  • 2nde
  • 1ère
  • Tle
  • Tle Comp
  • Tle XP
  • Quiz

Troisième

Cours

Les règles de calculs, fractions, puissances

1 - Vocabulaire

Définitions

  • La somme de deux termes est le résultat de l'addition de ces nombres.

  • La différence de deux termes est le résultat de la soustraction de ces nombres.

  • Le produit de deux facteurs est le résultat de la multiplication de ces nombres.

Exemples

  • 5=3+25 = 3+25=3+2 : 5\quad 55 est la somme des termes 333 et 222.

  • 1=3−21 = 3 - 21=3−2 : 1\quad11 est la différence des termes 333 et 222.

  • 6=3×26 = 3\times 26=3×2 : 6\quad66 est le produit des facteurs 333 et 222.

Remarques

On regroupe souvent somme et différence sous le même terme : somme algébrique. En effet, une soustraction d'un nombre positif correspond à une addition d'un nombre négatif.

Lorsqu'une expression contient plusieurs opérations, il s'agit :

  • d'une somme algébrique si la dernière opération effectuée (la moins prioritaire) est une addition ou une soustraction. Par exemple : 2x−3y2x - 3y2x−3y;

  • d'un produit si la dernière opération effectuée (la moins prioritaire) est une multiplication. Par exemple : 3x(y−3)3x\left(y - 3\right)3x(y−3).

2 - Priorités de calculs

Propriétés

  • On effectue d'abord les calculs des expressions entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures.

  • Puis on effectue les puissances avant les multiplications, les divisions, les additions et les soustractions.

  • Puis on effectue d'abord les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.

  • Enfin, on effectue les calculs de la gauche vers la droite.

    Dans une somme algébrique, on peut également regrouper ensemble les termes de même signe.

Exemples

  • A=5−3×7+2×(4−1)A=5 - 3\times 7+2\times \left(4 - 1\right)A=5−3×7+2×(4−1)

    On effectue d'abord les parenthèses :

    A=5−3×7+2×3A=5 - 3\times 7+2\times 3A=5−3×7+2×3

    Puis les multiplications :

    A=5−21+6A=5 - 21+6A=5−21+6

    Puis les opérations restantes (en regroupant les termes positifs par exemple) :

    A=5−21+6=11−21=−10A=5 - 21+6=11 - 21= - 10A=5−21+6=11−21=−10

  • Attention à bien tenir compte de la priorité des opération même si l'expression contient des lettres. Par exemple :

    B=5+(7−4)×xB=5+\left(7 - 4\right)\times xB=5+(7−4)×x

    On peut effectuer le calcul dans la parenthèse :

    B=5+3×x=5+3xB=5+3\times x=5+3xB=5+3×x=5+3x

    On ne peut pas effectuer l'addition 5+35+35+3 car la multiplication 3×x3\times x3×x est prioritaire. On ne peut donc pas aller plus loin.

3 - Fractions

Propriétés

  • Pour additionner (ou soustraire) des fractions, on ajoute (ou on soustrait) leurs numérateurs, après les avoir mises au même dénominateur.

  • Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en simplifiant au maximum.

  • Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse.

Exemples

  • A=34−25A=\frac{3}{4} - \frac{2}{5}A=​4​​3​​−​5​​2​​

    A=3×54×5−2×45×4A=\frac{3\times 5}{4\times 5} - \frac{2\times 4}{5\times 4}A=​4×5​​3×5​​−​5×4​​2×4​​

    A=1520−820A=\frac{15}{20} - \frac{8}{20}A=​20​​15​​−​20​​8​​

    A=720A=\frac{7}{20}A=​20​​7​​

  • B=34×25B=\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}B=​4​​3​​×​5​​2​​

    B=3×24×5B=\frac{3\times 2}{4 \times 5}B=​4×5​​3×2​​

    B=3×22×2×5B=\frac{3\times 2}{2\times 2\times 5}B=​2×2×5​​3×2​​

    B=310B=\frac{3}{10}B=​10​​3​​

  • C=34÷25C=\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}C=​4​​3​​÷​5​​2​​

    C=34×52C=\frac{3}{4}\times \frac{5}{2}C=​4​​3​​×​2​​5​​

    C=3×54×2C=\frac{3\times 5}{4\times 2}C=​4×2​​3×5​​

    C=158C=\frac{15}{8}C=​8​​15​​

4 - Puissances

Propriétés

  • Produit : an×am=an+ma^{n}\times a^{m}=a^{n+m}a​n​​×a​m​​=a​n+m​​

  • Inverse : 1am=a−m\frac{1}{a^{m}}=a^{ - m}​a​m​​​​1​​=a​−m​​

  • Quotient :anam=an−m\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n - m}​a​m​​​​a​n​​​​=a​n−m​​

  • Puissance de puissance :(an)m=an×m\left(a^{n}\right)^{m}=a^{n\times m}(a​n​​)​m​​=a​n×m​​

  • Exposants identiques :an×bn=(ab)na^{n}\times b^{n}=\left(ab\right)^{n}a​n​​×b​n​​=(ab)​n​​

Exemples

  • A=32×33=32+3=35A=3^{2}\times 3^{3}=3^{2+3}=3^{5}A=3​2​​×3​3​​=3​2+3​​=3​5​​

  • B=232−4=23−(−4)=27B=\frac{2^{3}}{2^{ - 4}}=2^{3 - \left( - 4\right)}=2^{7}B=​2​−4​​​​2​3​​​​=2​3−(−4)​​=2​7​​

  • C=(102)−3=10−6C=\left(10^{2}\right)^{ - 3}=10^{ - 6}C=(10​2​​)​−3​​=10​−6​​

Remarques

  • Ces formules peuvent, bien sûr, être utilisées dans les deux sens. Par exemple, pour passer de 1am\frac{1}{a^{m}}​a​m​​​​1​​ à a−ma^{ - m}a​−m​​ ou pour passer de a−ma^{ - m}a​−m​​ à 1am\frac{1}{a^{m}}​a​m​​​​1​​

  • Cas particulier de la dernière formule :

    (−a)n=(−1×a)n=(−1)n×an\left( - a\right)^{n}=\left( - 1\times a\right)^{n}=\left( - 1\right)^{n}\times a^{n}(−a)​n​​=(−1×a)​n​​=(−1)​n​​×a​n​​

    Donc pour nnn impair : (−a)n=−an\left( - a\right)^{n}= - a^{n}(−a)​n​​=−a​n​​ car alors (−1)n=−1\left( - 1\right)^{n}= - 1(−1)​n​​=−1

    Pour nnn pair : (−a)n=an\left( - a\right)^{n}=a^{n}(−a)​n​​=a​n​​ car alors (−1)n=1\left( - 1\right)^{n}=1(−1)​n​​=1

Définition

On appelle écriture scientifique d'un nombre positif, la notation a×10na\times 10^{n}a×10​n​​ avec nnn entier relatif et 1⩽a<101 \leqslant a < 101⩽a<10.

Remarque

L'encadrement 1⩽a<101 \leqslant a < 101⩽a<10 signifie que l'écriture décimale de aaa comporte un et un seul chiffre non nul avant la virgule.

Exemple

D=5×105×10−2×72×107 D=\frac{5\times 10^{5}\times 10^{ - 2}\times 7}{2\times 10^{7}}D=​2×10​7​​​​5×10​5​​×10​−2​​×7​​

Donner l'écriture scientifique de DDD, puis son écriture décimale.

On regroupe les puissances de 10 d'un coté et les nombres restants de l'autre:

D=5×72×105×10−2107 D=\frac{5\times 7}{2}\times \frac{10^{5}\times 10^{ - 2}}{10^{7}}D=​2​​5×7​​×​10​7​​​​10​5​​×10​−2​​​​

On simplifie :

D=352×103107 D=\frac{35}{2}\times \frac{10^{3}}{10^{7}}D=​2​​35​​×​10​7​​​​10​3​​​​

D=17,5×10−4 D=17,5\times 10^{ - 4}D=17,5×10​−4​​

L'écriture scientifique de DDD est :

D=1,75×10−3 D=1,75\times 10^{ - 3}D=1,75×10​−3​​

L'écriture décimale de DDD est :

D=0,00175 D=0,00175 D=0,00175

  Format PDF      Signaler une erreur

Dans ce chapitre...

Exercices

  • facileSomme ou produit ?
  • moyenFractions - Racines carrées (Brevet 2010)
  • moyenPuissances de dix (Brevet 2012)
  • moyenSimplifications (Brevet 2001)

QCM

  • facileQCM - Révision cours : Règles de calculs

VOIR AUSSI...

  • tableau de signe
  • loi de probabilité
  • fonction trigonométrique
  • suite géométrique
  • théorème de thalès
  • polynôme second degré
  • limites
  • fonction affine
  • théorème de pythagore
  • fonction exponentielle
  • division euclidienne
  • trigonométrie
  • python en seconde
  • fonction paire
  • loi normale
  • algorithme de dijkstra
  • tableau de variation
  • fonction dérivée

© 2021 - Maths-cours.fr - Nous contacter