1 – Vocabulaire
Définitions
La somme de deux termes est le résultat de l’addition de deux nombres.
La différence de deux termes est le résultat de la soustraction de deux nombres.
Le produit de deux facteurs est le résultat de la multiplication de deux nombres.
Exemples
5 = 3+2 : \quad 5 est la somme des termes 3 et 2.
1 = 3-2 : \quad1 est la différence des termes 3 et 2.
6 = 3\times 2 : \quad6 est le produit des facteurs 3 et 2.
Remarques
On regroupe souvent somme et différence sous le même terme : somme algébrique. En effet, une soustraction d’un nombre positif correspond à une addition d’un nombre négatif.
Lorsqu’une expression contient plusieurs opérations, il s’agit :
d’une somme algébrique si la dernière opération effectuée (la moins prioritaire) est une addition ou une soustraction. Par exemple : 2x-3y;
d’un produit si la dernière opération effectuée (la moins prioritaire) est une multiplication. Par exemple : 3x\left(y-3\right).
2 – Priorités de calculs
Propriétés
On effectue d’abord les calculs des expressions entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures.
Puis on effectue les puissances avant les multiplications, les divisions, les additions et les soustractions.
Puis on effectue d’abord les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.
Enfin, on effectue les calculs de la gauche vers la droite.
Dans une somme algébrique, on peut également regrouper ensemble les termes de même signe.
Exemples
A=5-3\times 7+2\times \left(4-1\right)
On effectue d’abord les parenthèses :
A=5-3\times 7+2\times 3
Puis les multiplications :
A=5-21+6
Puis les opérations restantes (en regroupant les termes positifs par exemple) :
A=5-21+6=11-21=-10
Attention à bien tenir compte de la priorité des opération même si l’expression contient des lettres. Par exemple :
B=5+\left(7-4\right)\times x
On peut effectuer le calcul dans la parenthèse :
B=5+3\times x=5+3x
On ne peut pas effectuer l’addition 5+3 car la multiplication 3\times x est prioritaire. On ne peut donc pas aller plus loin.
3 – Fractions
Propriétés
Pour additionner (ou soustraire) des fractions, on ajoute (ou on soustrait) leurs numérateurs, après les avoir mises au même dénominateur.
Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en simplifiant au maximum.
Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse.
Exemples
A=\frac{3}{4}-\frac{2}{5}
A=\frac{3\times 5}{4\times 5}-\frac{2\times 4}{5\times 4}
A=\frac{15}{20}-\frac{8}{20}
A=\frac{7}{20}
B=\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}
B=\frac{3\times 2}{4 \times 5}
B=\frac{3\times 2}{2\times 2\times 5}
B=\frac{3}{10}
C=\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}
C=\frac{3}{4}\times \frac{5}{2}
C=\frac{3\times 5}{4\times 2}
C=\frac{15}{8}
4 – Puissances
Propriétés
Produit : a^{n}\times a^{m}=a^{n+m}
Inverse : \frac{1}{a^{m}}=a^{-m}
Quotient :\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}
Puissance de puissance :\left(a^{n}\right)^{m}=a^{n\times m}
Exposants identiques :a^{n}\times b^{n}=\left(ab\right)^{n}
Exemples
A=3^{2}\times 3^{3}=3^{2+3}=3^{5}
B=\frac{2^{3}}{2^{-4}}=2^{3-\left(-4\right)}=2^{7}
C=\left(10^{2}\right)^{-3}=10^{-6}
Remarques
Ces formules peuvent, bien sûr, être utilisées dans les deux sens. Par exemple, pour passer de \frac{1}{a^{m}} à a^{-m} ou pour passer de a^{-m} à \frac{1}{a^{m}}
Cas particulier de la dernière formule :
\left(-a\right)^{n}=\left(-1\times a\right)^{n}=\left(-1\right)^{n}\times a^{n}
Donc pour n impair : \left(-a\right)^{n}=-a^{n} car alors \left(-1\right)^{n}=-1
Pour n pair : \left(-a\right)^{n}=a^{n} car alors \left(-1\right)^{n}=1
Définition
On appelle écriture scientifique d’un nombre positif, la notation a\times 10^{n} avec n entier relatif et 1 \leqslant a < 10.
Remarque
L’encadrement 1 \leqslant a < 10 signifie que l’écriture décimale de a comporte un et un seul chiffre non nul avant la virgule.
Exemple
D=\frac{5\times 10^{5}\times 10^{-2}\times 7}{2\times 10^{7}}Donner l’écriture scientifique de D, puis son écriture décimale.
On regroupe les puissances de 10 d’un coté et les nombres restants de l’autre:
D=\frac{5\times 7}{2}\times \frac{10^{5}\times 10^{-2}}{10^{7}}
On simplifie :
D=\frac{35}{2}\times \frac{10^{3}}{10^{7}}
D=17,5\times 10^{-4}
L’écriture scientifique de D est :
D=1,75\times 10^{-3}
L’écriture décimale de D est :
D=0,00175
