1 – Vocabulaire
Définitions
- La somme de deux termes est le résultat de l’addition de deux nombres.
- La différence de deux termes est le résultat de la soustraction de deux nombres.
- Le produit de deux facteurs est le résultat de la multiplication de deux nombres.
Exemples
- 5 = 3+2 : \quad 5 est la somme des termes 3 et 2.
- 1 = 3-2 : \quad1 est la différence des termes 3 et 2.
- 6 = 3\times 2 : \quad6 est le produit des facteurs 3 et 2.
Remarques
On regroupe souvent somme et différence sous le même terme : somme algébrique. En effet, une soustraction d’un nombre positif correspond à une addition d’un nombre négatif.
Lorsqu’une expression contient plusieurs opérations, il s’agit :
- d’une somme algébrique si la dernière opération effectuée (la moins prioritaire) est une addition ou une soustraction. Par exemple : 2x-3y;
- d’un produit si la dernière opération effectuée (la moins prioritaire) est une multiplication. Par exemple : 3x\left(y-3\right).
2 – Priorités de calculs
Propriétés
- On effectue d’abord les calculs des expressions entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures.
- Puis on effectue les puissances avant les multiplications, les divisions, les additions et les soustractions.
- Puis on effectue d’abord les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.
- Enfin, on effectue les calculs de la gauche vers la droite.
Dans une somme algébrique, on peut également regrouper ensemble les termes de même signe.
Exemples
- A=5-3\times 7+2\times \left(4-1\right)
On effectue d’abord les parenthèses :
A=5-3\times 7+2\times 3
Puis les multiplications :
A=5-21+6
Puis les opérations restantes (en regroupant les termes positifs par exemple) :
A=5-21+6=11-21=-10 - Attention à bien tenir compte de la priorité des opération même si l’expression contient des lettres. Par exemple :
B=5+\left(7-4\right)\times x
On peut effectuer le calcul dans la parenthèse :
B=5+3\times x=5+3x
On ne peut pas effectuer l’addition 5+3 car la multiplication 3\times x est prioritaire. On ne peut donc pas aller plus loin.
3 – Fractions
Propriétés
- Pour additionner (ou soustraire) des fractions, on ajoute (ou on soustrait) leurs numérateurs, après les avoir mises au même dénominateur.
- Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en simplifiant au maximum.
- Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse.
Exemples
| A=\frac{3}{4}-\frac{2}{5} | B=\frac{3}{4}\times \frac{2}{5} | C=\frac{3}{4} ÷ \frac{2}{5} |
| A=\frac{3\times 5}{4\times 5}-\frac{2\times 4}{5\times 4} | B=\frac{3\times 2}{4 \times 5} | C=\frac{3}{4}\times \frac{5}{2} |
| A=\frac{15}{20}-\frac{8}{20} | B=\frac{3\times 2}{2\times 2\times 5} | C=\frac{3\times 5}{4\times 2} |
| A=\frac{7}{20} | B=\frac{3}{10} | C=\frac{15}{8} |
4 – Puissances
Propriétés
- Produit : a^{n}\times a^{m}=a^{n+m}
- Inverse : \frac{1}{a^{m}}=a^{-m}
- Quotient :\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}
- Puissance de puissance :\left(a^{n}\right)^{m}=a^{n\times m}
- Exposants identiques :a^{n}\times b^{n}=\left(ab\right)^{n}
Exemples
- A=3^{2}\times 3^{3}=3^{2+3}=3^{5}
- B=\frac{2^{3}}{2^{-4}}=2^{3-\left(-4\right)}=2^{7}
- C=\left(10^{2}\right)^{-3}=10^{-6}
Remarques
- Ces formules peuvent, bien sûr, être utilisées dans les deux sens. Par exemple, pour passer de \frac{1}{a^{m}} à a^{-m} ou pour passer de a^{-m} à \frac{1}{a^{m}}
- Cas particulier de la dernière formule :
\left(-a\right)^{n}=\left(-1\times a\right)^{n}=\left(-1\right)^{n}\times a^{n}
Donc pour n impair : \left(-a\right)^{n}=-a^{n} car alors \left(-1\right)^{n}=-1
Pour n pair : \left(-a\right)^{n}=a^{n} car alors \left(-1\right)^{n}=1
Définition
On appelle écriture scientifique d’un nombre positif, la notation a\times 10^{n} avec n entier relatif et 1 \leqslant a < 10.
Remarque
L’encadrement 1 \leqslant a < 10 signifie que l’écriture décimale de a comporte un et un seul chiffre non nul avant la virgule.
Exemple type brevet
D=\frac{5\times 10^{5}\times 10^{-2}\times 7}{2\times 10^{7}}
Donner l’écriture scientifique de D, puis son écriture décimale.
On regroupe les puissances de 10 d’un coté et les nombres de l’autre:
D=\frac{5\times 7}{2}\times \frac{10^{5}\times 10^{-2}}{10^{7}}
On simplifie :
D=\frac{35}{2}\times \frac{10^{3}}{10^{7}}
D=17,5\times 10^{-4}
L’écriture scientifique de D est :
D=1,75\times 10^{-3}
L’écriture décimale de D est :
D=0,00175
