Puissances de dix (Brevet 2012)

Durée estimée

10 minutes

Difficulté

(Brevet Métropole 2012)

Quelle est l'écriture décimale du nombre $ \dfrac{10^{5}+1}{10^{5}} $?
Antoine utilise sa calculatrice pour calculer le nombre suivant : $ \dfrac{10^{15} +1}{10^{15}} $.

Le résultat affiché est $ 1 $.

Antoine pense que ce résultat n'est pas exact. A-t-il raison ?

Corrigé

On décompose la fraction en deux termes :

$ \dfrac{10^{5}+1}{10^{5}}=\dfrac{10^{5}}{10^{5}}+\dfrac{1}{10^{5}} $.

Or $ \dfrac{10^{5}}{10^{5}}=1 $ (simplification par $ 10^{5} $) et $ \dfrac{1}{10^{5}}=10^{ - 5}=0{,}00001 $

Par conséquent : $ \dfrac{10^{5}+1}{10^{5}}=1+0{,}00001 $, soit $\mathbf{1{,}00001}$.

(Ici une calculatrice donnerait le bon résultat.)
De la même façon :

$ \dfrac{10^{15}+1}{10^{15}}=\dfrac{10^{15}}{10^{15}}+\dfrac{1}{10^{15}}=1+10^{ - 15} $, soit $\mathbf{1{,}000000000000001}$

Antoine a raison. La calculatrice (qui calcule avec un nombre limité de décimales) a arrondi le résultat.