Question 1 : Réponse correcte : d.

Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs : $\ln(x y)=\ln(x)+\ln(y)$. Donc :

$\ln(2 \text{e}^{2})=\ln2+\ln(\text{e}^{2})$.

Or, pour tout réel $x$: $\ln(\text{e}^{x})=x$. Par conséquent :

$\ln(2 \text{e}^{2})=\ln2+2$.

Question 2 : Réponse correcte : b.

Posons, pour tout réel $x$ strictement positif :

Alors :

Donc :

$f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x)=\ln x+x \times \dfrac{1}{x}=\ln x + 1$.

Question 3 : Réponse correcte : c.

La fonction $\ln$ étant strictement croissante sur $]0~;~+\infty[$ :

$0,8^n \leqslant 0,01 \Leftrightarrow \ln(0,8^n) \leqslant \ln(0,01)$
$\phantom{0,8^n \leqslant 0,01 } \Leftrightarrow n\ln(0,8) \leqslant \ln(0,01).$

$0 < 0,8 < 1$ donc $\ln(0,8)$ est strictement négatif. Par conséquent :

$0,8^n \leqslant 0,01 \Leftrightarrow n \geqslant \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,8)}$.

À la calculatrice $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,8)} \approx 20,63$ (au centième près). Le plus petit entier naturel supérieur ou égal à 20,63 est 21.

Le plus petit entier naturel $n$ tel que $0,8^n \leqslant 0,01$ est donc 21.

Question 4 : Réponse correcte : c.

L'aire $\mathscr{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{x}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=2$ est égale à :

$\mathscr{A}=\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{1}{t}\text{d}t$.

Une primitive de la fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{x}$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ est la fonction $\ln$, donc :

$\mathscr{A}=\left[\ln x \right]_1^2=\ln 2 - \ln 1=\ln 2$.

Question 5 : Réponse correcte : d.

$p(2 \leqslant X \leqslant 3)=\dfrac{3 - 2}{5 - 1}=\dfrac{1}{4}$.

Les autres réponses sont fausses. En effet :

a. $p(1$

tandis que :

$p(2 \leqslant X \leqslant 4)=\dfrac{4 - 2}{5 - 1}=\dfrac{1}{2}$.

b. $p(X < 2)=p(1\leqslant X<2)=\dfrac{2 - 1}{5 - 1}=\dfrac{1}{4}$

alors que :

$p(X > 2)=p(2 < X\leqslant 5)=\dfrac{5 - 2}{5 - 1}=\dfrac{3}{4}$.

c. $p(X=3)=0$.