D'après les résultats fournis par le logiciel, la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~5]$ et :

Le dénominateur est strictement positif sur l'intervalle $[0~;~5]$ (puisqu'alors $x+1 \geqslant 1$). $f^{\prime}(x)$ est donc du signe de $- x+1$, c'est à dire nul pour ${x=1}$, strictement positif pour ${x < 1}$ et strictement négatif pour ${x > 1}$.

Par ailleurs :

$f(0)=2\ln1 - 0+1=1$ ;

$f(1)=2\ln(1+1) - 1+1=2\ln2$ ;

$f(5)=2\ln(5+1) - 5+1=2\ln6 - 4$.

On obtient alors le tableau de variations suivant :

Le logiciel de calcul formel indique que la fonction $f$ est deux fois dérivable et que :

Le dénominateur est strictement positif sur l'intervalle $[0~;~5]$ et le numérateur strictement négatif.

$f^{\prime \prime}$ est donc strictement négative sur l'intervalle $[0~;~5]$ et, par conséquent, la fonction $f$ est concave sur cet intervalle.

D'après la formule rappelée dans l'énoncé, la valeur moyenne $m$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 5] est :

Le logiciel de calcul formel indique que la fonction $F$ définie sur $[0~;~5]$ par :

est une primitive de la fonction $f$.

Par conséquent :

$m=\dfrac{1}{5}\left(F(5) - F(0)\right)$.

Or :

$F(5)=12\ln6 - \dfrac{1}{2} \times 25 - 5 =12\ln6 - \dfrac{35}{2}$,

$F(0)=2\ln1=0$.

Donc :

$m=\dfrac{1}{5}\left(12\ln6 - \dfrac{35}{2}\right)=\dfrac{12}{5}\ln6 - \dfrac{7}{2}$.

Une valeur approchée de $m$ à $10^{ - 3}$ près est 0,8.

1. Remarquons d'abord que $f(1) \approx 1,386$ et $f(4) \approx 0,219$ sont strictement positifs alors que $f(5) \approx - 0,416$ est strictement négatif.

   Sur l'intervalle $[0~;~1]$, $f(x)$ est supérieur ou égal à 1 donc strictement positif. L'équation $f(x)=0$ n'a donc aucune solution sur cet intervalle.

   Sur l'intervalle $[1~;~5]$, la fonction $f$ est continue, strictement décroissante et change de signe. Donc l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur cet intervalle.

   Comme $f(x)$ change de signe entre $x=4$ et $x=5$ : ${4 < \alpha < 5}$.

2. En faisant fonctionner l'algorithme on obtient le tableau suivant :

   $x$	$4$	$4,1$	$4,2$	$4,3$	$4,4$
   $y$	$0,219$	$0,158$	$0,097$	$0,035$	$- 0,027$
   $y > 0$	vraie	vraie	vraie	vraie	fausse

3. D'après la question précédente, l'algorithme affiche la valeur 4,4.

   Dans cet algorithme, $x$ est incrémenté par pas de 0,1 et $y$ représente la valeur de $f(x)$.

   On sort de la boucle « Tant que » quand $y \leqslant 0$, c'est à dire quand $f(x) \leqslant 0$.

   Le tableau de la question précédente montre que $f(4,3)$ est strictement positif tandis que $f(4,4)$ est strictement négatif. $f$ change donc de signe entre 4,3 et 4,4 ; par conséquent : ${4,3 < \alpha < 4,4}$.

   L'algorithme affiche donc une valeur approchée à 0,1 près par excès de $\alpha$.