Partie A

1. D'après le cours :

   $p( \mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma ) \approx 0,68 \ \text{au centième près}$

   ce qui donne ici pour $\mu =7$ et $\sigma =1$ :

   $p( 6 \leqslant X \leqslant 8 ) \approx 0,68 \ \text{au centième près}.$

   Or, d'après l'énoncé, l'événement $( 6 \leqslant X \leqslant 8 )$ est identique à l'événement « la pomme est jugée conforme ».

   À retenir

   Si la variable aléatoire $X$ suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, alors :

   • $p\left(\mu - \sigma \leqslant X\leqslant \mu + \sigma \right)\approx 0,68$ (à $10^{ - 2}$ près) ;

   • $p\left(\mu - 2\sigma \leqslant X\leqslant \mu + 2\sigma \right)\approx 0,95$ (à $10^{ - 2}$ près) ;

   • $p\left(\mu - 3\sigma \leqslant X\leqslant \mu + 3\sigma \right)\approx 0,997$ (à $10^{ - 3}$ près).

   Remarque

   Le jour du bac, on ne vous retirera pas de points si vous utilisez la calculatrice pour répondre à cette question. Toutefois, il est toujours préférable de montrer que vous connaissez le cours...

2. 1. La variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale de paramètres ${n=500}$ et ${p=0,68}$. En effet :

      • on assimile la sélection à un tirage aléatoire avec remise ;

      • chaque tirage possède deux issues :

        • succès, correspondant à la sélection d'une pomme « con\-forme » (probabilité ${p=0,68}$),

        • échec, correspondant à la sélection d'une pomme « non conforme » ;

      • la variable aléatoire $Y$ comptabilise le nombre de pommes « conformes ».

      Attention

      Ne confondez pas, dans cet exercice, les variables aléatoires $X$ (qui suit une loi normale) et $Y$ (qui suit une loi binomiale) !

   2. On cherche la probabilité de l'événement $(Y \geqslant 350)$. L'événement contraire de ${(Y \geqslant 350)}$ est ${(Y < 350)}$ qui est identique à ${(Y \leqslant 349)}$.

      Attention

      L'événement contraire de ({$Y \geqslant a$}) est ({$Y < a$}) et non (${Y \leqslant a}$).

      Pour une loi continue, cela n'a aucun impact sur le résultat car alors ${p(Y < a)=p(Y \leqslant a)}$. Par contre, pour une loi discrète (comme une loi binomiale, par exemple), les probabilités {${p(Y < a)}$} et {${p(Y \leqslant a)}$} sont différentes.

      On a donc :

      $p(Y \geqslant 350) = 1 - p(Y < 350)$
      $\phantom{p(Y \geqslant 350) } =1 - p(Y \leqslant 349).$

      À la calculatrice on trouve : $p(Y \leqslant 349) \approx 0,82$ (au centième près). Par conséquent :

      $p(Y \geqslant 350) \approx 1 - 0,82 = 0,18\$ (au centième près).

   Ce résultat s'interprète de la façon suivante : « la probabilité que le diamètre d'une pomme soit supérieur à 5,36 cm est égale à 0,95 ».

Partie B

1. La taille de l'échantillon est $n= 500$.
   La fréquence observée des personnes satisfaites dans cet échantillon est $f=\dfrac{17}{20}=0,85$.

   On vérifie que :

   • $n=500 \geqslant 30$ ;

   • $nf=500 \times 0,85=425 \geqslant 5$ ;

   • $n(1 - f)=500 \times 0,15=75 \geqslant 5$.

   Les conditions de validité sont bien remplies ; l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 0,95 est alors :

   $I=\left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1)}{\sqrt{n}}\right]$

   soit:

   $I =\left[0,85 - \dfrac{1}{\sqrt{200}}~;~0,85+\dfrac{1}{\sqrt{200}}\right]$

   $I \approx \left[0,779~;~0,921\right] \quad \text{(extrémités arrondies au millième)}$.

   À retenir

   On note :

   • $n$ : la taille de l'échantillon,

   • $f$ : la fréquence du caractère dans l'échan\-til\-lon,

   • $p$ : la proportion (connue ou supposée) du caractère dans la population.

   Si les conditions \bm{f\geqslant 30}, \bm{nf\geqslant 5} et \bm{n\left(1 - f\right)\geqslant 5} sont vérifiées, l'intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%, est :

   $I=\left[ f - \frac{1}{\sqrt{n}}~ ; ~f+\frac{1}{\sqrt{n}} \right]$

2. L'amplitude de l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 0,95, pour un échantillon de taille $n$ est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.

   Cette amplitude est inférieure ou égale à 4% si et seulement si :

   $\dfrac{2}{\sqrt{n}} \leqslant 0,04 \Leftrightarrow 2 \leqslant 0,04\sqrt{n}$

   $\phantom{\dfrac{2}{\sqrt{n}} \leqslant 0,04} \Leftrightarrow 0,04\sqrt{n} \geqslant 2$

   $\phantom{\dfrac{2}{\sqrt{n}} \leqslant 0,04} \Leftrightarrow \sqrt{n} \geqslant \dfrac{2}{0,04}$

   $\phantom{\dfrac{2}{\sqrt{n}} \leqslant 0,04} \Leftrightarrow \sqrt{n} \geqslant 50$

   $\phantom{\dfrac{2}{\sqrt{n}} \leqslant 0,04} \Leftrightarrow n \geqslant 50^2$

   $\phantom{\dfrac{2}{\sqrt{n}} \leqslant 0,04} \Leftrightarrow n \geqslant 2\ 500$.

   Le distributeur aurait dû interroger, au minimum, 2\ 500 personnes pour obtenir un intervalle de confiance, au niveau de confiance 0,95, d'amplitude inférieure ou égale à 4%.

   À retenir

   L'amplitude de l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95%, pour un échantillon de taille $n$ est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.