Partie A

1. On traduit les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets $M$ et $A$:

   

2. La matrice de transition de ce graphe en plaçant les sommets dans l'ordre $M$, $A$ est :

   $T= \begin{pmatrix} 0,9 & 0,1\\ 0,25 & 0,75 \end{pmatrix}.$

3. D'après l'énoncé, en 2016, 50% des clients avaient opté pour le prélèvement mensuel donc $m_0=0,5$ et $p_0=1 - m_0=0,5$.

   Par conséquent $P_0=(0,5 \quad 0,5)$.

   On en déduit :

   $P_1 = P_0 \times T = (0,5 \quad 0,5) \times \begin{pmatrix} 0,9 & 0,1\\ 0,25 & 0,75 \end{pmatrix} = (0,575 \quad 0,425)$ ;

   $P_2 = P_1 \times T = (0,575 \quad 0,425) \times \begin{pmatrix} 0,9 & 0,1\\ 0,25 & 0,75 \end{pmatrix} = (0,624 \quad 0,376)$
   (arrondi au millième).

4. Une matrice $P = (a\quad b)$ est un état stable si et seulement si ${a + b = 1}$ et $PT = P$.

   $PT=P \Leftrightarrow \begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,9 & 0,1\\0,25 & 0,75 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}$

   $\phantom{PT=P} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 0,9a+0,25b & 0,1a+0,75b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}$

   $\phantom{PT=P} \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r c l} 0,9a+0,25b &=& a\\ 0,1a+0,75b &=& b \end{array} \right.$

   $\phantom{PM=P} \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r c l} - 0,1a+0,25b &=& 0\\ 0,1a - 0,25b &=& 0 \end{array} \right.$

   $\phantom{PM=P} \Leftrightarrow 0,1a - 0,25b = 0$

   Comme $a+b=1$ : $b=1 - a$. Par conséquent :

   $0,1a - 0,25(1 - a) = 0$

   $0,35a - 0,25 = 0$

   $a = \dfrac{0,25}{0.35}=\dfrac{5}{7}$

   et $b=1 - a=1 - \dfrac{5}{7}=\dfrac{2}{7}$.

   On peut donc en déduire que

   $P=\begin{pmatrix} \dfrac{5}{7} & \dfrac{2}{7} \end{pmatrix}$

   est l'état stable du graphe.

   Au cours du temps, la proportion des clients qui opteront pour le prélèvement mensuel se rapprochera de cinq septièmes.

Partie B

1. Pour tout entier naturel $n$ :

   Par conséquent $P_0=(0,5 \quad 0,5)$.

   $T$ étant la matrice de transition du graphe, pour tout entier naturel $n$ :

   $P_{n+1} = P_n \times T$.

   Donc :

   $(m_{n+1} \quad a_{n+1}) = (m_n \quad a_n) \times \begin{pmatrix} 0,9 & 0,1\\ 0,25 & 0,75 \end{pmatrix} = (0,575 \quad 0,425)$

   $\phantom{(m_{n+1} \quad a_{n+1})} = \begin{pmatrix} 0,9m_n+0,25a_n & 0,1m_n+0,75a_n\end{pmatrix}$.

   En comparant les termes situés en première colonne, on obtient :

   $m_{n+1} = 0,9m_n+0,25a_n$.

   Or, pour tout entier naturel $n$, $m_n$ et $a_n$ sont les probabilités de deux événements contraires donc ${a_n=1 - m_n}$.

   Par conséquent :

   $m_{n+1} = 0,9m_n+0,25(1 - m_n)$
   $\phantom{m_{n+1} } = 0,9m_n+0,25 - 0,25m_n$
   $\phantom{m_{n+1} } = 0,65m_n+0,25.$

2. L'algorithme correct est l'algorithme 2.

   L'algorithme 1 est incorrect car il manque l'instruction « Affecter à $i$ la valeur $i+1$ » (incrémentation de $i$) à l'intérieur de la boucle « Tant que ».

   L'algorithme 3 est incorrect car il affiche, en sortie, la valeur de $n$ (qui correspond au nombre saisi par l'utilisateur) et non le résultat souhaité qui est stocké dans la variable $m$.

3. 1. Pour tout entier naturel $n$, $u_{n}= m_{n} - \dfrac{5}{7}$, donc :

      $u_{n+1}= m_{n+1} - \dfrac{5}{7}$.

      Or, pour tout entier naturel $n$, $m_{n+1}=0,65m_n+0,25$ ; par conséquent :

      $u_{n+1}= 0,65m_n+0,25 - \dfrac{5}{7}$
      $\phantom{u_{n+1}}=0,65m_n+\dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{7}$
      $\phantom{u_{n+1}}=0,65m_n+\dfrac{1}{4} - \dfrac{13}{28}.$

      Or, puisque $u_{n}= m_{n} - \dfrac{5}{7}$ : $m_{n}= u_{n}+\dfrac{5}{7}$.

      On en déduit :

      $u_{n+1}= 0,65\left(u_{n}+\dfrac{5}{7}\right) - \dfrac{13}{28}$
      $\phantom{u_{n+1}}= 0,65u_{n}+\dfrac{3,25}{7} - \dfrac{13}{28}$
      $\phantom{u_{n+1}}= 0,65u_{n}+\dfrac{13}{28} - \dfrac{13}{28}$
      $\phantom{u_{n+1}}= 0,65u_{n}.$

      Comme $u_{0}= m_{0} - \dfrac{5}{7}=\dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{7}= - \dfrac{3}{14}$, la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme ${u_0= - \dfrac{3}{14}}$ et de raison $0,65$.

   2. La suite $(u_n)$ étant une suite géométrique de premier terme ${u_0= - \dfrac{3}{14}}$ et de raison $0,65$, pour tout entier naturel $n$ :

      $u_n=u_0q^n= - \dfrac{3}{14} \times 0,65^n$.

      Par conséquent :

      $m_{n}= u_n + \dfrac{5}{7}=\dfrac{5}{7} - \dfrac{3}{14} \times 0,65^n$.

4. ${0 \leqslant 0,65 < 1}\$ donc $\ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty } 0,65^n = 0$.

   On en déduit que :

   $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{3}{14} \times 0,65^n = 0\$ et $\ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{5}{7} - \dfrac{3}{14} \times 0,65^n = \dfrac{5}{7}$.

   La suite $(m_n)$ converge donc vers $\dfrac{5}{7}$.

   On retrouve le résultat de la partie A, à savoir que la proportion de clients choisissant le prélèvement mensuel tendra vers $\dfrac{5}{7}$.