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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Probabilités - Matrice de transition - Bac ES Amérique du Nord 2008

Exercice 2

(5 points) Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I (calculs exacts demandés)

Sur une route, deux intersections successives "a" et "b" sont munies de feux tricolores. On suppose que ces feux ne sont pas synchronisés et fonctionnent de manière indépendante. On admet que :

On note A l'événement : " le feu de "a" est vert ", B l'événement " le feu de "b" est vert ".

Un automobiliste passe successivement aux deux intersections "a" et "b".

  1. Calculer la probabilité qu'à son passage, les deux feux soient verts.

  2. Calculer la probabilité qu'à son passage, il rencontre au moins un feu vert.

Partie II (résultats demandés à 10210^{ - 2} près)

Pour se rendre à son travail, Mathurin rencontre une succession d'intersections de feux tricolores dont le fonctionnement est décrit si-dessous :

À chaque intersection :

n étant un entier naturel non nul, on note :

    1. Construire un graphe probabiliste pour décrire cette situation.

    2. Donner la matrice de transition M complétée de ce graphe :

      M=(...0,050,050,8...0,10,45...0,5)M=\begin{pmatrix} . . . & 0,05 & 0,05 \\ 0,8 & . . . & 0,1 \\ 0,45 & . . . & 0,5\end{pmatrix}

    1. Si le premier feu rencontré est vert, donner la matrice P1P_{1} de l'état inital puis calculer P2P_{2}.

    2. On donne P3=[0,87 0,05 0,08]P_{3}=\left[0,87\ 0,05\ 0,08\right]. Quelle est la probabilité que le quatrième feu soit vert ?

  1. Si le premier feu rencontré est rouge, donner la matrice P1P_{1} de l'état initial puis calculer P2P_{2}.

  2. On remarque que, quelle que soit la couleur du premier feu rencontré, on obtient à partir d'un certain rang n : Pn=[0,85 0,05 0,10]P_{n}=\left[0,85 \ 0,05 \ 0,10\right].
    Donner une interprétation concrète de ce résultat