Exercice 4

(6 points) - Commun à tous les candidats

Rappel : Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $e^{u}$ est dérivable sur $I$ et $\left(e^{u}\right)^{\prime}=u^{\prime} e^{u}$.

Un transporteur, s'occupant de voyages organisés, achète en l'an 2000 (instant initial $t=0$), un autocar nécessitant un investissement initial de 200 milliers d'euros.

Partie A

Cet investissement se déprécie. Sa dépréciation cumulée, en milliers d'euros, à l'instant t, mesurée en années, est notée $D\left(t\right)$.

On pose $D\left(t\right)=200 \left(1 - e^{ - 0,086 t }\right)$ pour tout réel t de l'intervalle $I=\left[0 ; 13\right]$.

Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de $D$ dans le plan rapporté à un repère $\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right)$.

Déterminer graphiquement au cours de quelle année l'investissement aura perdu 60% de sa valeur (faire apparaître sur le graphique les tracés qui permettent d'obtenir la réponse).

Partie B

Le transporteur veut vendre l'autocar. On note $V\left(t\right)$ la valeur de l'autocar l'année t, $0 < t < 13$.

1. Vérifier que $V\left(t\right)=200\times e^{ - 0,086 t}$.

2. Etudier le sens de variation de $V$ sur $\left[0 ; 13\right]$.

3. Combien peut-on espérer revendre l'autocar au bout de 13 ans de service ? (au millier d'euros près).

4. Au cours de quelle année l'autocar a-t-il perdu la moitié de sa valeur ?

Partie C

On estime que les recettes nettes (en milliers d'euros) procurées par l'exploitation de cet autocar, hors dépréciation du véhicule, sont données à l'instant $t$ réel de l'intervalle $\left[0 ; 13\right]$ par :

$R\left(t\right)=110 \left(5+t - 5e^{0,1t} \right)$.

1. 1. Calculer la dérivée $R^{\prime}$ de la fonction $R$ ; étudier son signe sur $\left[0 ; 13\right]$ et construire le tableau de variation de $R$.

   2. En déduire que les recettes nettes sont maximales pour une valeur $t_{0}$ de $t$ dont on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée arrondie à l'unité près.

   3. Construire la courbe représentative de la fonction $R$, dans le même repère que celle de $D$ après avoir complété le tableau de valeurs ci-dessous où l'on arrondira $R\left(t\right)$ à l'entier le plus proche.

      $t$	0	1	2	4	6	8	10	11	13
      $D\left(t\right)$	0	16	32	58	81	99	115	122	135
      $R\left(t\right)$	0	52	98		208				-38
      $E\left(t\right)$	0				127

2. A tout instant, la différence $R\left(t\right) - D\left(t\right)$ représente l'exploitation $E\left(t\right)$ de l'autocar.

   Compléter le tableau ci dessus, utiliser le graphique ou les tableaux de valeurs de $D, R$ et $E$ pour répondre aux questions suivantes :

   1. Au cours de quelle année l'exploitation de cet autocar est-elle la plus profitable ?

   2. A partir de quelle année l'exploitation de cet autocar conduit-elle à un déficit ?