Exercice 3

(5 points) Commun à tous les candidats

Historiquement, on avait décidé de numéroter les planètes du système solaire suivant leur distance moyenne au Soleil. Ainsi, on notait :

• Mercure=1

• Vénus=2

• Terre=3

• Mars=4

• Cérès=5

• Jupiter=6

• Saturne=7

• Uranus=8

On considère la série statistique double $\left(i ; d_{i}\right)_{1 < i < 8}$, où $i$ représente le numéro d'ordre de la planète et $d_{i}$ sa distance au soleil (en millions de km) :

(1 ; 57,94) , (2 ; 108,27) , (3 ; 149,60) , (4 ; 228,06) , (5 ; 396,44) , (6 ; 778,73) , (7 ; 1 427,7) , (8 ; 2 872,4).

1. Indiquer, à l'aide d'une phrase, la signification du couple (3 ; 149,60).

   Dans la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{ - 3}$ près.

2. Compléter le tableau suivant :

   $i$	1	2	3	4	5	6	7	8
   $d_{i}$	57,94	108,27	149,60	228,06	396,44	778,73	1 427,7	2 872,4
   $d_{i} - d_{1}$	0			170,12
   $y_{i}=\ln\left(d_{i} - d_{1}\right)$				5,137

3. 1. Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement (D), de la série $\left(i ; y_{i}\right)$, avec i compris entre 2 et 8.

   2. Construire le nuage de points $\left(i ; y_{i}\right)$, avec $i$ compris entre 2 et 8, et la droite (D) dans un repère orthonormal, unités : 2 cm.

4. 1. Déduire de ce qui précède que l'on peut modéliser l'expression de $d_{i}$, en fonction de $i$, avec $i$ compris entre 2 et 8, sous la forme $d_{i}=57,94+12,16 \times 1,966^{i}$.

   2. Calculer la distance moyenne probable au soleil d'une planète numérotée 9.
      (Ce résultat est connu sous le nom de loi de Titius-Bode du nom de deux astronomes allemands qui permirent la découverte de Neptune n°9 en 1848... La loi tomba ensuite en désuétude mais l'ajustement étudié demeure excellent si l'on inclut " Pluton "... La planète naine en n°10).