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Probabilités et suites - Bac blanc ES/L Sujet 6 - Maths-cours 2018

Exercice 2 (5 points)

Lors d'un tournoi de jeux vidéo, Loïc dispute plusieurs parties d'affilée.

La probabilité qu'il gagne la première partie est 0,5.

Lorsqu'il gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est 0,7.

Si, par contre, il perd une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est seulement 0,4.

Pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 1, on note GnG_n l'événement « Loïc a gagné la nn-ième partie », Gn\overline{G_n} l'événement contraire et pnp_n la probabilité de l'événement GnG_n. On a donc p1=0,5p_1=0,5.

  1. Recopier et compléter l'arbre ci-après :

    Arbre de probabilités à compléter

  2. Montrer que, pour tout entier naturel n1n \geqslant 1 :

    pn+1=0,3pn+0,4. p_{n+1}=0,3p_n+0,4.

  3. On considère la suite (un)(u_n) définie, pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 11, par :

    un=pn47. u_n=p_n - \dfrac{4}{7}.

    1. Montrer que la suite (un)(u_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme u1u_1.

    2. En déduire que, pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 11 :

      pn=47114×(0,3)n1. p_n=\dfrac{4}{7} - \dfrac{1}{14} \times (0,3)^{n - 1}.

  4. Déterminer la limite de la suite (pn)(p_n).

    Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Corrigé

  1. D'après l'énoncé :

    • « Lorsqu'il gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est 0,7 » : donc  pGn(Gn+1)=0,7\ {p_{G_n}(G_{n+1})=0,7}.

    • « Si, par contre, il perd une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est seulement 0,4 » ; donc  pGn(Gn+1)=0,4\ {p_{\overline{G_n}}(G_{n+1})=0,4}.

    La somme des probabilités inscrites sur les branches partant d'un même nœud est égale à 1 ; on peut donc compléter l'arbre comme suit :

    Arbre de probabilités complété

  2. pn+1p_{n+1} représente p(Gn+1)p(G_{n+1}). D'après la formule des probabilités totales :

    pn+1=p(Gn)×pGn(Gn+1)+p(Gn)×pGn(Gn+1)p_{n+1} = p(G_n) \times p_{G_n}(G_{n+1}) + p(\overline{G_n}) \times p_{\overline{G_n}}(G_{n+1})
    pn+1=pn×0,7+(1pn)×0,4\phantom{p_{n+1}} = p_n \times 0,7 + (1 - p_n) \times 0,4
    pn+1=0,7pn+0,40,4pn\phantom{p_{n+1}} = 0,7p_n + 0,4 - 0,4p_n
    pn+1=0,3pn+0,4\phantom{p_{n+1}} = 0,3p_n+0,4

    Remarque

    La suite (pn)(p_n) vérifie une relation de récurrence de la forme : pn+1=apn+bp_{n+1}=ap_n+b ; c'est donc une suite arithmético-géométrique.

    1. Pour tout entier naturel nn strictement positif : un=pn47u_n=p_n - \dfrac{4}{7} ; par conséquent :

      un+1=pn+147u_{n+1} = p_{n+1} - \dfrac{4}{7}
      un+1=(0,3pn+0,4)47\phantom{u_{n+1}} = (0,3p_n+0,4) - \dfrac{4}{7}
      un+1=0,3pn+2,8747\phantom{u_{n+1}}= 0,3p_n+\dfrac{2,8}{7} - \dfrac{4}{7}
      un+1=0,3pn1,27\phantom{u_{n+1}}= 0,3p_n - \dfrac{1,2}{7}.

      Or un=pn47u_n=p_n - \dfrac{4}{7} donc pn=un+47p_n=u_n+\dfrac{4}{7} ; on obtient donc :

      un+1=0,3(un+47)1,27u_{n+1} = 0,3\left(u_n+\dfrac{4}{7}\right) - \dfrac{1,2}{7}
      un+1=0,3un+1,271,27\phantom{u_{n+1}}= 0,3u_n+\dfrac{1,2}{7} - \dfrac{1,2}{7}
      un+1=0,3un.\phantom{u_{n+1}} = 0,3u_n.

      Par ailleurs, u1=p147=1247=114{u_1=p_1 - \dfrac{4}{7}=\dfrac{1}{2} - \dfrac{4}{7}= - \dfrac{1}{14}}.

      La suite (un)(u_n) est donc une suite géométrique de premier terme u1=114{u_1= - \dfrac{1}{14}} et de raison q=0,3{q=0,3}.

    2. On en déduit que pour tout entier naturel nn strictement positif:

      un=u1qn1=114×0,3n1u_n=u_1q^{n - 1}= - \dfrac{1}{14} \times 0,3^{n - 1}.

      À retenir

      Pour une suite géométrique (un)(u_n) de premier terme u0u_0 et de raison qq, le nn-ième terme vaut :

      un=u0×qn.u_{n}=u_0 \times q^n.

      Pour une suite géométrique (un)(u_n) de premier terme u1u_1 et de raison qq, le nn-ième terme vaut :

      un=u1×qn1.u_{n}=u_1 \times q^{n - 1}.

      Plus généralement, pour une suite géométrique (un)(u_n) de raison qq dont on connait le terme upu_p, le nn-ième terme vaut :

      un=up×qnp.u_{n}=u_p \times q^{n - p}.

      En utilisant la relation pn=un+47p_n=u_n+\dfrac{4}{7}, on obtient :

      pn=47114×0,3n1. p_n=\dfrac{4}{7} - \dfrac{1}{14} \times 0,3^{n - 1}.

  3. Comme 00,3<10 \leqslant 0,3 < 1, alors limn+0,3n=0\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}0,3^n=0.

    0,3n1=0,3n0,30,3^{n - 1} = \dfrac{0,3^n}{0,3} donc on a également limn+0,3n1=0\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}0,3^{n - 1}=0.

    Par conséquent limn+(114×0,3n1)=0\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left(\dfrac{1}{14} \times 0,3^{n - 1}\right)=0 et :

    limn+(47114×0,3n1)=47. \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left(\dfrac{4}{7} - \dfrac{1}{14} \times 0,3^{n - 1}\right)=\dfrac{4}{7}.

    La suite (pn)(p_n) converge donc vers 47\dfrac{4}{7}.

    Lorsque Loïc a joué beaucoup de parties, sa probabilité de gagner une partie est proche de 47\dfrac{4}{7}.

    À retenir

    Soit qq un nombre réel positif ou nul.

    • Si \bm{0 \leqslant q < 1}, alors \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}q^n=\bm{0}.

    • Si \bm{q > 1}, alors \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}q^n=\bm{+\infty}.