Probabilités et suites - Bac blanc ES/L Sujet 6 - Maths-cours 2018
Exercice 2 (5 points)
Lors d'un tournoi de jeux vidéo, Loïc dispute plusieurs parties d'affilée.
La probabilité qu'il gagne la première partie est 0,5.
Lorsqu'il gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est 0,7.
Si, par contre, il perd une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est seulement 0,4.
Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, on note l'événement « Loïc a gagné la -ième partie », l'événement contraire et la probabilité de l'événement . On a donc .
Recopier et compléter l'arbre ci-après :
Montrer que, pour tout entier naturel :
On considère la suite définie, pour tout entier naturel supérieur ou égal à , par :
Montrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme .
En déduire que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à :
Déterminer la limite de la suite .
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Corrigé
D'après l'énoncé :
« Lorsqu'il gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est 0,7 » : donc .
« Si, par contre, il perd une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est seulement 0,4 » ; donc .
La somme des probabilités inscrites sur les branches partant d'un même nœud est égale à 1 ; on peut donc compléter l'arbre comme suit :
représente . D'après la formule des probabilités totales :
Remarque
La suite vérifie une relation de récurrence de la forme : ; c'est donc une suite arithmético-géométrique.
Pour tout entier naturel strictement positif : ; par conséquent :
.Or donc ; on obtient donc :
Par ailleurs, .
La suite est donc une suite géométrique de premier terme et de raison .
On en déduit que pour tout entier naturel strictement positif:
.
À retenir
Pour une suite géométrique de premier terme et de raison , le -ième terme vaut :
Pour une suite géométrique de premier terme et de raison , le -ième terme vaut :
Plus généralement, pour une suite géométrique de raison dont on connait le terme , le -ième terme vaut :
En utilisant la relation , on obtient :
Comme , alors .
donc on a également .
Par conséquent et :
La suite converge donc vers .
Lorsque Loïc a joué beaucoup de parties, sa probabilité de gagner une partie est proche de .
À retenir
Soit un nombre réel positif ou nul.
Si \bm{0 \leqslant q < 1}, alors \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}q^n=\bm{0}.
Si \bm{q > 1}, alors \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}q^n=\bm{+\infty}.