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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Probabilités Combinaisons - Bac S Métropole 2009

Exercice 3

5 points - Commun à tous les candidats

Partie I

Cette question est une restitution organisée de connaissances.

On rappelle que si nn et pp sont deux nombres entiers naturels tels que p⩽np \leqslant n alors

(np)=n!p!(n−p)!\begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}=\frac{n!}{p!\left(n - p\right)!}.

Démontrer que pour tout nombre entier naturel nn et pour tout nombre entier naturel pp tels que 1⩽p⩽n1 \leqslant p \leqslant n on a : (np)=(n−1p−1)+(n−1p)\begin{pmatrix} n \\ p\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n - 1 \\ p - 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n - 1 \\ p \end{pmatrix}.

Partie II

Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher :

7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3.

On tire simultanément deux jetons de ce sac.

    1. On note A l'événement " obtenir deux jetons blancs ".

      Démontrer que la probabilité de l'événement A est égale à 715\frac{7}{15}.

    2. On note B l'événement " obtenir deux jetons portant des numéros impairs ".

      Calculer la probabilité de B.

    3. Les événements A et B sont-ils indépendants ?

  2. Soit XX la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané.

    1. Déterminer la loi de probabilité de XX.

    2. Calculer l'espérance mathématique de XX.

Corrigé

Partie I

Voir cours (calcul assez fastidieux!)

Partie II

    1. Le nombre total de tirages est (102)=45\begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix}=45

      Le nombre de tirages de deux jetons blancs est (72)=21\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}=21 (il y a 7 jetons blancs)

      La probabilité cherchée est donc :

      p(A)=2145=715p\left(A\right)=\frac{21}{45}=\frac{7}{15}

    2. Il y a 6 jetons impairs.

      Le nombre de tirages de deux jetons impairs est (62)=15\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}=15

      La probabilité cherchée est donc :

      p(A)=1545=13p\left(A\right)=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}

    3. Il y a 4 jetons blancs et impairs.

      Le nombre de tirages de deux jetons blancs et impairs est (42)=6\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}=6

      La probabilité de tirer deux jetons blancs et impairs est donc :

      p(A∩B)=645=215p\left(A \cap B\right)=\frac{6}{45}=\frac{2}{15}

      Or p(A)×p(B)=715×13=745p\left(A\right)\times p\left(B\right)=\frac{7}{15}\times \frac{1}{3}=\frac{7}{45} donc : p(A∩B)≠p(A)×p(B)p\left(A \cap B\right) \neq p\left(A\right)\times p\left(B\right)

      Les évènements A et B ne sont pas indépendants.

    1. XX peut prendre les valeurs 0; 1 et 2.

      L'évènement (X=0)\left(X=0\right) correspond à " ne tirer aucun jeton blanc ". Comme il y a 3 jetons noirs :

      p(X=0)=(32)45=345=115p\left(X=0\right)=\frac{\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}}{45}=\frac{3}{45}=\frac{1}{15}

      L'évènement (X=1)\left(X=1\right) correspond à " tirer un jeton blanc et un jeton noir ". Ici on ne tient pas compte de l'ordre. Comme il y a 3 jetons noirs et 7 jetons blancs, il y a 21 paires composées d'un jeton blanc et d'un jeton noir. Donc :

      p(X=1)=2145=715p\left(X=1\right)=\frac{21}{45}=\frac{7}{15}

      Enfin, l'évènement (X=2)\left(X=2\right) est l'évènement A.

      p(X=2)=p(A)=715p\left(X=2\right)=p\left(A\right)=\frac{7}{15}

      La loi de probabilité de XX est donnée par le tableau :

      xix_{i} 0 1 2
      p(X=xi)p\left(X=x_{i}\right) 115\frac{1}{15} 715\frac{7}{15} 715\frac{7}{15}

    2. E(X)=0×115+1×715+2×715 E(X) = 0 \times \frac{ 1 }{ 15 } + 1 \times \frac{ 7 }{ 15 } + 2 \times \frac{ 7 }{ 15 } =75=1,4 = \frac{ 7 }{ 5 } = 1,4

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