1. $OM=|z|$ et $OM_{1}=|\frac{1}{z}|$ donc :

   $OM\times OM_{1}=|z|\times |\frac{1}{z}|=|z \times \frac{1}{z}|=1$

   De plus :

   $\left(\vec{u}; \overrightarrow{OM}\right)=\text{arg}\left(z\right)..\left[2\pi \right]$

   $\left(\vec{u}; \overrightarrow{OM_{1}}\right)=\text{arg}\left(\frac{1}{z}\right)= - \text{arg}\left(z\right)..\left[2\pi \right]$

   donc :

   $\left(\vec{u};\overrightarrow{OM_{1}}\right)= - \left(\vec{u};\overrightarrow{OM}\right) ..\left[2\pi \right]$.

2. Le point $A_{1}$ est le point du cercle de centre O et de rayon $\frac{1}{2}$ tel que les demi-droites [OA) et [OA1) soient symétriques par rapport à l'axe des abscisses. A' est le milieu de [AA1]

1. $z^{\prime}=\frac{1}{2}\left(z_{M}+z_{M_{1}}\right)=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)$

2. $z_{B^{\prime}}=\frac{1}{2}\left(2\text{i}+\frac{1}{2\text{i}}\right)=\frac{1}{2}\left(2\text{i} - \frac{\text{i}}{2}\right)=\frac{3}{4}\text{i}$

   $z_{C^{\prime}}=\frac{1}{2}\left( - 2\text{i} - \frac{1}{2\text{i}}\right)=\frac{1}{2}\left( - 2\text{i}+\frac{\text{i}}{2}\right)= - \frac{3}{4}\text{i}$

3. 

$M=M^{\prime}$ si et seulement si :

$z=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)$

$2z=z+\frac{1}{z}$

$z=\frac{1}{z}$

$z^{2}=1$

$z=1$ ou $z= - 1$

L''ensemble des points $M$ tels que $M^{\prime}=M$ est l'ensemble formé des points $K$ et $L$ d'affixes respectives -1 et 1.

Soit $M$ d'affixe $z=\text{e}^{\text{i}\theta }$ un point du cercle de centre O et de rayon 1. On a:

$z^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\text{e}^{\text{i}\theta }+\frac{1}{\text{e}^{\text{i}\theta }}\right)=\frac{1}{2}\left(\text{e}^{\text{i}\theta }+\text{e}^{ - \text{i}\theta }\right)=\cos \theta$

$\cos \theta$ est un réel compris entre -1 et 1 donc $M^{\prime}$ appartient bien au segment $\left[KL\right]$.