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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Nombres complexes - Bac S Métropole 2009

Exercice 4

5 points - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct (O;u,v)\left(O; \vec{u}, \vec{v}\right), on associe à tout point M d'affixe zz non nulle, le point M' milieu du segment [MM1]\left[MM_{1}\right]M1M_{1} est le point d'affixe 1z\frac{1}{z}.

Le point M' est appelé l'image du point M.

    1. Montrer que les distances OMOM et OM1OM_{1} vérifient la relation OM×OM1=1OM \times OM_{1}=1 et que les angles (u;OM1)\left(\vec{u};\overrightarrow{OM_{1}}\right) et (u;OM)\left(\vec{u};\overrightarrow{OM}\right) vérifient l'égalité des mesures suivantes

      (u;OM1)=(u;OM)\left(\vec{u};\overrightarrow{OM_{1}}\right)= - \left(\vec{u};\overrightarrow{OM}\right) à 2π2\pi près.

    2. Sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 2.

      Construire le point A' image du point A. (On laissera apparents les traits de construction).

      Nombres complexes - Bac S Métropole 2009

    1. Justifier que pour tout nombre complexe zz non nul, le point M' a pour affixe z=12(z+1z)z^{\prime}=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right).

    2. Soient B et C les points d'affixes respectives 2i et -2i. Calculer les affixes des points B' et C' images respectives des points B et C.

    3. Placer les points B, C, B' et C' sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie).

  1. Déterminer l'ensemble des points M tels que M=MM^{\prime}=M.

  2. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Montrer que si le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 alors son image M' appartient au segment [KL] où K et L sont les points d'affixes respectives -1 et 1.

Corrigé

    1. OM=zOM=|z| et OM1=1zOM_{1}=|\frac{1}{z}| donc :

      OM×OM1=z×1z=z×1z=1OM\times OM_{1}=|z|\times |\frac{1}{z}|=|z \times \frac{1}{z}|=1

      De plus :

      (u;OM)=arg(z)..[2π]\left(\vec{u}; \overrightarrow{OM}\right)=\text{arg}\left(z\right)..\left[2\pi \right]

      (u;OM1)=arg(1z)=arg(z)..[2π]\left(\vec{u}; \overrightarrow{OM_{1}}\right)=\text{arg}\left(\frac{1}{z}\right)= - \text{arg}\left(z\right)..\left[2\pi \right]

      donc :

      (u;OM1)=(u;OM)..[2π]\left(\vec{u};\overrightarrow{OM_{1}}\right)= - \left(\vec{u};\overrightarrow{OM}\right) ..\left[2\pi \right].

    2. Le point A1A_{1} est le point du cercle de centre O et de rayon 12\frac{1}{2} tel que les demi-droites [OA) et [OA1) soient symétriques par rapport à l'axe des abscisses. A' est le milieu de [AA1]

    1. z=12(zM+zM1)=12(z+1z)z^{\prime}=\frac{1}{2}\left(z_{M}+z_{M_{1}}\right)=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)

    2. zB=12(2i+12i)=12(2ii2)=34iz_{B^{\prime}}=\frac{1}{2}\left(2\text{i}+\frac{1}{2\text{i}}\right)=\frac{1}{2}\left(2\text{i} - \frac{\text{i}}{2}\right)=\frac{3}{4}\text{i}

      zC=12(2i12i)=12(2i+i2)=34iz_{C^{\prime}}=\frac{1}{2}\left( - 2\text{i} - \frac{1}{2\text{i}}\right)=\frac{1}{2}\left( - 2\text{i}+\frac{\text{i}}{2}\right)= - \frac{3}{4}\text{i}

    3. Nombres complexes - Bac S Métropole 2009

  1. M=MM=M^{\prime} si et seulement si :

    z=12(z+1z)z=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)

    2z=z+1z2z=z+\frac{1}{z}

    z=1zz=\frac{1}{z}

    z2=1z^{2}=1

    z=1z=1 ou z=1z= - 1

    L''ensemble des points MM tels que M=MM^{\prime}=M est l'ensemble formé des points KK et LL d'affixes respectives -1 et 1.

  2. Soit MM d'affixe z=eiθz=\text{e}^{\text{i}\theta } un point du cercle de centre O et de rayon 1. On a:

    z=12(eiθ+1eiθ)=12(eiθ+eiθ)=cosθz^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\text{e}^{\text{i}\theta }+\frac{1}{\text{e}^{\text{i}\theta }}\right)=\frac{1}{2}\left(\text{e}^{\text{i}\theta }+\text{e}^{ - \text{i}\theta }\right)=\cos \theta

    cosθ\cos \theta est un réel compris entre -1 et 1 donc MM^{\prime} appartient bien au segment [KL]\left[KL\right].