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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Calcul d'aires - Bac S Métropole 2009

Exercice 2

6 points - Commun à tous les candidats

Soit ff la fonction définie sur l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ par

f(x)=ln(1+xe−x)f\left(x\right)=\ln \left(1+x\text{e}^{ - x}\right).

On note f′f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction ff sur l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty \right[.

On note (C)\left(C\right) la courbe représentative de la fonction ff dans un repère orthogonal. La courbe (C)\left(C\right) est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie).

Calcul d'aires - Bac S Métropole 2009

PARTIE I

  1. Justifier que limx→+∞f(x)=0\lim_{x \rightarrow +\infty } f\left(x\right)=0.

  2. Justifier que pour tout nombre réel positif xx, le signe de f′(x)f^{\prime}\left(x\right) est celui de 1−x1 - x.

  3. Étudier les variations de la fonction ff sur l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty \right[.

PARTIE II

Soit λ\lambda un nombre réel strictement positif. On pose A(λ)=∫0λf(x)dxA\left(\lambda \right)=\int_{0}^{\lambda }f\left(x\right)\text{d}x. On se propose de majorer A(λ)A\left(\lambda \right) à l'aide de deux méthodes différentes.

  1. Première méthode

    1. Représenter, sur l'annexe jointe (à rendre avec la copie), la partie du plan dont l'aire en unité d'aire, est égale à A(λ)A\left(\lambda \right).

    2. Justifier que pour tout nombre réel strictement positif, A(λ)⩽λ×f(1)A\left(\lambda \right) \leqslant \lambda \times f\left(1\right).

  2. Deuxième méthode

    1. Calculer à l'aide d'une intégration par parties ∫0λxe−xdx\int_{0}^{\lambda } x\text{e}^{ - x} \text{d}x en fonction de λ\lambda .

    2. On admet que pour tout nombre réel positif u,ln(1+u)⩽uu, \ln \left(1+u \right) \leqslant u.

      Démontrer alors que, pour tout nombre réel λ\lambda strictement positif,

      A(λ)⩽−λe−λ−e−λ+1A\left(\lambda \right) \leqslant - \lambda \text{e}^{ - \lambda } - \text{e}^{ - \lambda }+1.

  3. Application numérique Avec chacune des deux méthodes, trouver un majorant de A(5)A\left(5\right), arrondi au centième. Quelle méthode donne le meilleur majorant dans le cas où λ=5\lambda =5 ?

Corrigé

Partie I

  1. xe−x=xex=1exxxe^{ - x}=\frac{x}{e^{x}}=\frac{1}{\frac{e^{x}}{x}}

    Comme limx→+∞exx=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{e^{x}}{x}=+\infty

    limx→+∞xe−x=0\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }xe^{ - x}=0 donc limx→+∞1+xe−x=1\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }1+xe^{ - x}=1 et la fonction ln\ln étant continue pour x=1x=1 :

    limx→+∞f(x)=ln1=0\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=\ln1=0

  2. ff est dérivable sur [0,+∞[\left[0, +\infty \right[ comme composée de foctions dérivables et :

    f′(x)=1×e−x−xe−x1+xe−x=e−x(1−x)1+xe−xf^{\prime}\left(x\right)=\frac{1\times e^{ - x} - xe^{ - x}}{1+xe^{ - x}}=\frac{e^{ - x}\left(1 - x\right)}{1+xe^{ - x}}

    e−xe^{ - x} strictement postif sur R\mathbb{R} et si x⩾0x\geqslant 0 xe−x⩾0xe^{ - x}\geqslant 0 donc xe−x+1>0xe^{ - x} +1 > 0

    Donc f′(x)f^{\prime}\left(x\right) est du signe de 1−x1 - x.

  3. On en déduit que f est strictement croissante sur [0;1[\left[0; 1\right[ et strictement décroissante sur ]1;+∞[\left]1; +\infty \right[

Partie II

    1. Calcul d'aires - Bac S Métropole 2009 - 2

      ff est positive sur [0;+∞[\left[0; +\infty \right[. A(λ)A\left(\lambda \right) est l'aire de la partie du plan délimité par la courbe CC l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0x=0 et x=λx=\lambda

    2. Cette partie du plan est incluse dans un rectangle dont les côtés mesurent λ\lambda et f(1)f\left(1\right). Son aire est donc inférieure à λ×f(1)\lambda \times f\left(1\right).

    1. On pose :

      u(x)=xu\left(x\right)=x donc u′(x)=1u^{\prime}\left(x\right)=1

      v(x)=−e−xv\left(x\right)= - e^{ - x} donc v′(x)=e−xv^{\prime}\left(x\right)=e^{ - x}

      ∫0λxe−xdx=[−xe−x]0λ−∫0λ−e−xdx=−λe−λ−[e−x]0λ\int_{0}^{\lambda } xe^{ - x}dx=\left[ - xe^{ - x}\right]_{0}^{\lambda } - \int_{0}^{\lambda } - e^{ - x}dx= - \lambda e^{ - \lambda } - \left[e^{ - x}\right]_{0}^{\lambda }

      ∫0λxe−xdx=−λe−λ+1−e−λ\int_{0}^{\lambda } xe^{ - x}dx= - \lambda e^{ - \lambda }+1 - e^{ - \lambda }

    2. D'après le résultat admis dans l'énoncé :

      ln(1+xe−x)⩽xe−x\ln\left(1+xe^{ - x}\right)\leqslant xe^{ - x}

      D'après les propriétés de l'intégrale:

      A(λ)=∫0λf(x)dx⩽∫0λxe−xdx=−λe−λ+1−e−λA\left(\lambda \right)=\int_{0}^{\lambda } f\left(x\right)dx \leqslant \int_{0}^{\lambda } xe^{ - x}dx= - \lambda e^{ - \lambda }+1 - e^{ - \lambda }

  3. Première méthode :

    A(5)⩽5ln(1+1e)≈1,57A\left(5\right)\leqslant 5\ln\left(1+\frac{1}{e}\right)\approx 1,57

    Deuxième méthode :

    A(5)⩽1−5e−5−e−5≈0,96A\left(5\right)\leqslant 1 - 5e^{ - 5} - e^{ - 5}\approx 0,96

    La seconde méthode donne un majorant plus précis.

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